Зеркало Ллойда и интерференция: схема и формула полос

Зеркало Ллойда - это один из классических способов получить интерференцию света от двух когерентных источников, не разрезая волну на две щели, а используя отражение. Источник света ставят чуть выше плоского зеркала, почти вдоль его поверхности, а экран располагают сбоку. Тогда до экрана доходят две волны: прямая от самого источника и отражённая от зеркала, которая кажется вышедшей из мнимого источника под зеркалом. Эти две волны когерентны и дают на экране систему светлых и тёмных полос. Ниже разберём геометрию опыта, выведем ширину интерференционной полосы, объясним, почему на уровне зеркала появляется тёмная, а не светлая полоса, и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь длины волны, высоты источника и расстояния до экрана, покрутите калькулятор: он показывает распределение интенсивности и схему опыта и пересчитывает ширину полосы на лету.

Как устроен опыт с зеркалом Ллойда

В опыте есть всего три элемента: точечный (или щелевой) источник света $S$, плоское зеркало и удалённый экран. Источник располагают на небольшой высоте $d$ над поверхностью зеркала, причём свет падает на зеркало под очень малым углом скольжения, почти параллельно поверхности. Часть лучей идёт прямо на экран, а часть отражается от зеркала и тоже попадает на экран. По законам отражения отражённый пучок выглядит так, будто он исходит из точки $S'$, расположенной симметрично источнику относительно плоскости зеркала, то есть на высоте $d$ под зеркалом. Эта точка и называется мнимым источником.

Рассчитать для своей задачи

В итоге картина полностью эквивалентна интерференции от двух когерентных источников $S$ и $S'$, разнесённых на расстояние $a = 2d$. Это ключевая идея: дальше можно применять всю обычную теорию двухлучевой интерференции, как в опыте Юнга с двумя щелями, только роль второй щели играет зеркальное изображение, а расстояние между источниками равно удвоенной высоте источника над зеркалом.

Откуда берётся ширина полосы Δy = λL/(2d)

Пусть экран находится на расстоянии $L$ от источников, а координату $y$ на экране отсчитываем от уровня зеркала вверх. Два источника $S$ и $S'$ разнесены на $a = 2d$, поэтому в приближении малых углов разность хода двух волн в точке экрана с координатой $y$ равна

$\Delta = \frac{a\,y}{L} = \frac{2d\,y}{L}.$

Светлые и тёмные полосы чередуются там, где разность хода меняется на одну длину волны $\lambda$. Расстояние между соседними одинаковыми полосами и называют шириной интерференционной полосы. Приравняв изменение разности хода к $\lambda$, получаем главную формулу опыта:

$\Delta y = \frac{\lambda L}{a} = \frac{\lambda L}{2d}.$

Из формулы видно главное: чем ближе источник к зеркалу (меньше $d$), тем шире полосы, а чем дальше экран (больше $L$) и длиннее волна, тем полосы тоже шире. Именно поэтому источник стараются поставить как можно ближе к зеркалу, иначе полосы получаются слишком узкими и неразличимыми. Сравните формулу с опытом Юнга: там в знаменателе стоит расстояние между щелями, а здесь его роль играет $2d$ - удвоенная высота источника. Похожую логику двухлучевой интерференции мы разбирали и в материале про интерференцию в тонких плёнках и просветление оптики.

Потеря полуволны: почему центр тёмный

Здесь зеркало Ллойда расходится с опытом Юнга в одной важной детали. При отражении света от оптически более плотной среды (от стекла или металла зеркала) фаза волны скачком меняется на $\pi$, что эквивалентно дополнительной разности хода в половину длины волны. Этот эффект так и называют - потеря полуволны. У прямой волны такого скачка нет, а у отражённой есть, поэтому к геометрической разности хода нужно добавить $\lambda/2$:

$\Delta_{\text{полн}} = \frac{2d\,y}{L} + \frac{\lambda}{2}.$

Из-за этого добавка переворачивает картину: там, где без неё был бы максимум, теперь минимум, и наоборот. На самой линии зеркала ($y = 0$) геометрическая разность хода равна нулю, и без отражения там была бы яркая центральная полоса. Но потеря полуволны делает полную разность хода равной $\lambda/2$ - это условие минимума, поэтому на уровне зеркала наблюдается тёмная полоса. Интенсивность на экране описывается выражением

$I(y) = 4 I_0 \sin^2\!\left(\frac{2\pi d\,y}{\lambda L}\right),$

которое обращается в нуль при $y = 0$. График ниже показывает это распределение: в центре провал, а вся картина сдвинута на полполосы относительно обычной двухлучевой интерференции.

Рассчитать для своей задачи

Таким образом, светлые полосы лежат при $y = (m + \tfrac{1}{2})\,\Delta y$, а тёмные - при $y = m\,\Delta y$, где $m = 0, 1, 2, \dots$ Это прямое экспериментальное доказательство того, что при отражении от более плотной среды теряется половина волны: именно по тёмной центральной полосе зеркало Ллойда и узнают в задачах.

Условия максимумов и минимумов

Соберём условия светлых и тёмных полос в явном виде. Полная разность хода складывается из геометрической части и потери полуволны, поэтому условия выглядят так:

$\text{светлая полоса:}\quad \frac{2d\,y}{L} = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda,$

$\text{тёмная полоса:}\quad \frac{2d\,y}{L} = m\,\lambda.$

Отсюда положения полос на экране:

$y_{\text{свет}} = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\frac{\lambda L}{2d}, \qquad y_{\text{тёмн}} = m\,\frac{\lambda L}{2d}.$

Эти формулы удобно проверять численно. Например, при длине волны $\lambda = 600$ нм, высоте источника $d = 1$ мм и расстоянии до экрана $L = 2$ м ширина полосы равна $\Delta y = \lambda L / (2d) = 0{,}6$ мм. Тогда первая светлая полоса появится на высоте $0{,}3$ мм над зеркалом, вторая - на $0{,}9$ мм, а на самом зеркале будет тёмная полоса. Калькулятор выше собирает именно такую цепочку и показывает все полосы сразу.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку. Источник монохроматического света с длиной волны $\lambda = 600$ нм находится на расстоянии $d = 1$ мм над плоскостью зеркала Ллойда. Экран удалён от источника на $L = 2$ м. Нужно найти ширину интерференционной полосы и положение первой светлой полосы.

Сначала находим расстояние между когерентными источниками: реальным и мнимым. Оно равно удвоенной высоте источника над зеркалом:

$a = 2d = 2 \cdot 1 = 2\ \text{мм} = 2 \cdot 10^{-3}\ \text{м}.$

Теперь по основной формуле считаем ширину полосы, аккуратно переведя все величины в систему СИ:

$\Delta y = \frac{\lambda L}{2d} = \frac{600 \cdot 10^{-9} \cdot 2}{2 \cdot 10^{-3}} = 6 \cdot 10^{-4}\ \text{м} = 0{,}6\ \text{мм}.$

Наконец, первая светлая полоса лежит на половине ширины полосы выше уровня зеркала, потому что центр из-за потери полуволны тёмный:

$y_1 = \tfrac{1}{2}\,\Delta y = 0{,}3\ \text{мм}.$

Проверка логики: на самом зеркале полоса тёмная, выше неё через каждые $0{,}6$ мм идут тёмные полосы, а между ними посередине - светлые. Если в вашем решении центральная полоса получилась светлой, значит, вы забыли учесть потерю полуволны при отражении.

Частые ошибки

• Забывают про потерю полуволны. Без поправки $\lambda/2$ получается, что в центре светлая полоса. На деле в зеркале Ллойда центральная полоса тёмная, и это главный отличительный признак опыта.
• Берут расстояние между источниками равным $d$, а не $2d$. Источники - это реальный $S$ и мнимый $S'$, симметричные относительно зеркала, поэтому расстояние между ними равно $a = 2d$.
• Путают $L$ и $d$ в формуле. В знаменателе ширины полосы стоит расстояние между источниками $2d$, а $L$ - это расстояние до экрана в числителе. Если поменять их местами, ответ отличается на порядки.
• Не переводят единицы в СИ. Высоту $d$ обычно дают в миллиметрах, длину волны в нанометрах, а расстояние до экрана в метрах. Перед подстановкой всё нужно привести к метрам.
• Считают картину тождественной опыту Юнга. Геометрия та же, но из-за потери полуволны вся система полос сдвинута на половину ширины полосы.

FAQ

Чем зеркало Ллойда отличается от опыта Юнга? Геометрия двухлучевой интерференции одинаковая, и ширина полосы считается по той же формуле $\Delta y = \lambda L / (2d)$. Но в зеркале Ллойда вторая волна отражённая, поэтому она теряет полуволну, и вся картина сдвинута на половину полосы: в центре тёмная полоса, а не светлая.

Почему на линии зеркала тёмная полоса, ведь разность хода там нулевая? Геометрическая разность хода действительно равна нулю, но при отражении от более плотной среды добавляется фаза $\pi$, то есть лишние $\lambda/2$. Полная разность хода становится равной $\lambda/2$, а это условие минимума, поэтому полоса тёмная.

Как в опыте Ллойда измеряют длину волны света? Измеряют ширину полосы $\Delta y$ на экране, а также расстояния $d$ и $L$. Затем из формулы $\Delta y = \lambda L / (2d)$ выражают длину волны: $\lambda = 2d\,\Delta y / L$. Это один из простых способов экспериментально определить $\lambda$.

Коротко

Зеркало Ллойда даёт интерференцию от реального источника и его зеркального изображения, разнесённых на $a = 2d$. Ширина полосы на экране равна $\Delta y = \lambda L / (2d)$: она растёт, когда источник опускается ближе к зеркалу или удаляется экран. Главная особенность опыта - потеря полуволны при отражении: на уровне зеркала наблюдается тёмная полоса, светлые полосы лежат при $y = (m + \tfrac{1}{2})\,\Delta y$, и вся картина сдвинута на половину полосы относительно опыта Юнга.