Вторая космическая скорость: формула и вывод

Вторая космическая скорость, или скорость убегания, - это минимальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно навсегда покинуло её поле тяготения и не вернулось обратно. Для Земли она равна примерно 11,2 км/с. В отличие от первой космической скорости, при которой тело выходит на круговую орбиту и остаётся спутником, вторая космическая позволяет уйти на бесконечность. Ниже разберём, как записывается формула второй космической скорости, как она выводится из закона сохранения энергии, почему она ровно в корень из двух раз больше первой космической и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать, как скорость убегания зависит от массы и радиуса тела, покрутите калькулятор ниже: задайте параметры планеты и посмотрите, как меняется ответ.

Что такое вторая космическая скорость

Любое тело у поверхности планеты находится в потенциальной яме её поля тяготения. Чтобы выбраться из этой ямы и уйти на бесконечно большое расстояние, телу нужен запас кинетической энергии, который как минимум компенсирует отрицательную гравитационную потенциальную энергию. Скорость, отвечающая этому минимальному запасу, и называется второй космической, или скоростью убегания.

Важно понимать, что речь идёт о скорости, сообщаемой телу один раз у поверхности, без дальнейшей работы двигателя. После старта тело движется только под действием тяготения: оно замедляется по мере удаления, но если начальной скорости хватило, никогда не остановится и не повернёт назад. Если же скорость меньше второй космической, тело либо упадёт обратно, либо (при скорости от первой до второй космической) останется на вытянутой эллиптической орбите.

Рассчитать для своей задачи

Формула второй космической скорости

Основная формула второй космической скорости записывается через массу тела $M$, его радиус $R$ и гравитационную постоянную $G$:

$v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}},$

где $G = 6{,}674 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг², $M$ - масса притягивающего тела (планеты, звезды), $R$ - расстояние от центра до точки старта, то есть радиус тела при старте с поверхности. Скорость убегания зависит только от массы и радиуса притягивающего тела и совсем не зависит от массы запускаемого объекта: камень и космический корабль должны достичь одной и той же скорости.

Часто формулу удобнее записать через ускорение свободного падения у поверхности $g$. Поскольку $g = \dfrac{GM}{R^2}$, произведение $GM = gR^2$, и подстановка даёт эквивалентную форму:

$v_2 = \sqrt{2gR}.$

Эта запись удобна в задачах, где даны $g$ и $R$, но не дана масса. Оба выражения дают один и тот же результат - это просто разные способы записать одну величину.

Вывод формулы из закона сохранения энергии

Формула выводится из закона сохранения механической энергии. Запишем полную энергию тела массой $m$ у поверхности и на бесконечности. У поверхности тело имеет кинетическую энергию $\dfrac{m v_2^2}{2}$ и гравитационную потенциальную энергию $-\dfrac{GMm}{R}$ (потенциальная энергия в поле тяготения отрицательна и обращается в ноль на бесконечности). На бесконечно большом расстоянии при минимальной скорости убегания и кинетическая, и потенциальная энергии равны нулю.

Приравняв полную энергию в двух состояниях, получаем:

$\frac{m v_2^2}{2} - \frac{GMm}{R} = 0.$

Масса тела $m$ сокращается - именно поэтому скорость убегания от неё не зависит. Выражая $v_2$, приходим к формуле:

$\frac{v_2^2}{2} = \frac{GM}{R} \quad\Longrightarrow\quad v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}}.$

Рассчитать для своей задачи

Физический смысл прост: чтобы выбраться из потенциальной ямы глубиной $\dfrac{GMm}{R}$, нужно ровно столько кинетической энергии, сколько составляет глубина этой ямы. Условие «дойти до бесконечности с нулевой скоростью» задаёт именно минимум - отсюда слово «вторая космическая» относят к наименьшей скорости убегания.

Связь с первой космической скоростью

Первая космическая скорость $v_1$ - это скорость кругового движения по орбите у самой поверхности, когда сила тяготения целиком играет роль центростремительной силы. Из равенства $\dfrac{m v_1^2}{R} = \dfrac{GMm}{R^2}$ следует:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR}.$

Сравнив две формулы, легко увидеть фундаментальную связь: под корнем у второй космической стоит ровно вдвое большая величина, поэтому

$v_2 = \sqrt{2}\, v_1 \approx 1{,}41\, v_1.$

Вторая космическая скорость всегда в корень из двух раз больше первой - для любого тела, независимо от его массы и радиуса. Если известна первая космическая скорость, вторую можно найти просто умножением на $\sqrt{2}$. Эту связь полезно использовать как быструю проверку: если ваше отношение $v_2/v_1$ не равно примерно 1,41, где-то закралась ошибка.

Стоит держать в голове, что это формулы для запуска у поверхности и без дальнейшей тяги. Когда речь идёт о реальной ракете с работающим двигателем, набор скорости описывается уже формулой Циолковского, а вторая космическая выступает в роли цели, которую нужно достичь.

Значение для Земли и других тел

Подставим в формулу параметры Земли: масса $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}$ кг, радиус $R = 6{,}371 \cdot 10^6$ м. Тогда

$v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}}{6{,}371 \cdot 10^6}} \approx 11{,}2 \cdot 10^3\ \text{м/с} = 11{,}2\ \text{км/с}.$

Для сравнения, первая космическая скорость Земли равна примерно 7,9 км/с, и действительно $11{,}2 / 7{,}9 \approx 1{,}41$. У других тел Солнечной системы скорость убегания заметно отличается: у Луны она около 2,4 км/с (поэтому Луна не удержала атмосферу), у Марса около 5,0 км/с, у Юпитера около 60 км/с, а у Солнца достигает 618 км/с. Чем массивнее и компактнее тело, тем выше скорость убегания.

Из формулы $v_2 = \sqrt{2GM/R}$ видно ещё одно: при фиксированной массе уменьшение радиуса увеличивает скорость убегания. Если мысленно сжимать тело, скорость убегания растёт неограниченно. Радиус, при котором она сравнивается со скоростью света, называется гравитационным радиусом - на этом представлении строится понятие чёрной дыры. Калькулятор выше как раз показывает этот рост: уменьшайте радиус при той же массе и следите за кривой.

Частые ошибки

• Путаница первой и второй космической скорости. Первая выводит на круговую орбиту, вторая позволяет улететь насовсем. Они различаются множителем $\sqrt{2}$, не путайте, какую величину просят в задаче.
• Радиус в километрах вместо метров. В формулу $v_2 = \sqrt{2GM/R}$ радиус подставляют в метрах. Если оставить километры, ответ будет в корень из тысячи раз больше. Переводите 6371 км в $6{,}371 \cdot 10^6$ м.
• Учёт массы запускаемого тела. Масса спутника или корабля в формулу не входит - она сокращается при выводе. Подставлять её не нужно.
• Использование $g$ на высоте, а не у поверхности. В формуле $v_2 = \sqrt{2gR}$ берут ускорение свободного падения именно у поверхности тела, а $R$ - радиус этого тела.
• Забытый множитель 2 под корнем. Без двойки получается первая космическая скорость, а не вторая. Двойка появляется из глубины потенциальной ямы и обязательна.

FAQ

Чему равна вторая космическая скорость для Земли? Около 11,2 км/с. Это значение получается подстановкой массы Земли $5{,}97 \cdot 10^{24}$ кг и радиуса 6371 км в формулу $v_2 = \sqrt{2GM/R}$. Именно такую скорость нужно сообщить телу у поверхности, чтобы оно покинуло поле тяготения Земли.

Почему вторая космическая скорость больше первой ровно в корень из двух раз? Потому что под корнем у второй космической стоит ровно вдвое большая величина: $v_1 = \sqrt{GM/R}$, а $v_2 = \sqrt{2GM/R}$. Отношение $v_2/v_1 = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ одинаково для любого небесного тела и не зависит от его массы и радиуса.

Зависит ли вторая космическая скорость от массы запускаемого тела? Нет. При выводе из закона сохранения энергии масса тела сокращается, поэтому скорость убегания определяется только массой и радиусом притягивающего тела. Лёгкий зонд и тяжёлый корабль должны достичь одной и той же скорости.

Коротко

Вторая космическая скорость, или скорость убегания, - минимальная скорость для выхода из поля тяготения тела; она задаётся формулой $v_2 = \sqrt{2GM/R} = \sqrt{2gR}$ и выводится из закона сохранения энергии при условии, что тело доходит до бесконечности с нулевой скоростью. Она в $\sqrt{2}$ раза больше первой космической, не зависит от массы запускаемого объекта и для Земли составляет около 11,2 км/с. Чем массивнее и компактнее притягивающее тело, тем выше его скорость убегания.