Тест Бройша-Пагана: проверка гетероскедастичности

Тест Бройша-Пагана - один из наиболее распространённых способов выявить гетероскедастичность в регрессионных моделях. Разработанный в 1979 году Тревором Бройшем и Адрианом Паганом, он проверяет, остаётся ли дисперсия ошибок постоянной, или систематически меняется вместе с факторами модели. Нарушение гомоскедастичности не делает оценки МНК смещёнными, но лишает их свойства эффективности и искажает стандартные ошибки коэффициентов - а значит, $t$-тесты и $F$-тест теряют надёжность. Ниже разберём логику теста, формулу статистики, число степеней свободы и сравнение с тестом Уайта. Используйте инструмент ниже, чтобы проверить свою модель прямо сейчас.

Что такое гетероскедастичность

В классической линейной регрессии $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{1i} + \dots + \beta_k x_{ki} + \varepsilon_i$ предполагается, что ошибки $\varepsilon_i$ независимы и имеют одинаковую дисперсию:

$\operatorname{Var}(\varepsilon_i) = \sigma^2 = \text{const.}$

Это условие гомоскедастичности. При гетероскедастичности дисперсия меняется от наблюдения к наблюдению:

$\operatorname{Var}(\varepsilon_i) = \sigma_i^2,$

и часто зависит от одного или нескольких регрессоров. Типичные примеры: расходы домохозяйств растут с доходом и «расходятся» сильнее, объём продаж крупных компаний варьируется шире, чем малых. На графике остатков против подогнанных значений гетероскедастичность проявляется как «воронка» или нарастающий разброс.

Рассчитать для своей задачи

Идея теста Бройша-Пагана

Ключевая гипотеза теста: если дисперсия гомоскедастична, квадрат остатка $e_i^2$ не должен систематически зависеть от объясняющих переменных. Бройш и Паган предложили проверить это через вспомогательную регрессию. Алгоритм состоит из нескольких шагов.

Шаг 1. Оцените исходную регрессию МНК и получите остатки $e_i = y_i - \hat{y}_i$.

Шаг 2. Вычислите максимально правдоподобную оценку дисперсии:

$\hat{\sigma}^2_{ML} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n e_i^2.$

Шаг 3. Постройте вспомогательную регрессию нормированных квадратов остатков $p_i = e_i^2 / \hat{\sigma}^2_{ML}$ на исходные факторы $x_1, \dots, x_k$:

$p_i = \alpha_0 + \alpha_1 x_{1i} + \dots + \alpha_k x_{ki} + u_i.$

Шаг 4. Найдите объяснённую сумму квадратов (ESS) вспомогательной регрессии и вычислите статистику множителей Лагранжа:

$LM = \frac{ESS}{2}.$

При нулевой гипотезе о гомоскедастичности статистика $LM$ асимптотически распределена как $\chi^2(k)$, где $k$ - число объясняющих переменных (без константы).

Модификация Кенкера

В 1981 году Роберт Кенкер предложил более робастную версию теста, не требующую предположения о нормальности ошибок. В ней вспомогательная регрессия строится не по нормированным $p_i$, а по самим квадратам остатков $e_i^2$, а статистика вычисляется как:

$LM = n \cdot R^2_{aux},$

где $R^2_{aux}$ - коэффициент детерминации вспомогательной регрессии. Эта форма совпадает с принципом, используемым в тесте Уайта, но вспомогательная регрессия включает только линейные члены $x_j$ (без квадратов и кросс-произведений).

Модификацию Кенкера реализуют большинство статистических пакетов: в R функция bptest() из пакета lmtest по умолчанию использует именно её, в Stata - команда estat hettest. При нормальных ошибках обе версии дают одинаковые выводы, но на практике модификация Кенкера предпочтительнее, поскольку устойчива к ненормальности.

Рассчитать для своей задачи

Статистика LM и распределение хи-квадрат

При нулевой гипотезе $H_0$: $\sigma_i^2 = \sigma^2$ для всех $i$ статистика $LM$ имеет предельное распределение $\chi^2(k)$. Решающее правило:

• Если $LM > \chi^2_{\alpha}(k)$ (критическое значение), нулевая гипотеза отвергается - гетероскедастичность значима.
• Если $LM \leq \chi^2_{\alpha}(k)$ - гомоскедастичность не опровергнута.

Например, при $k = 2$ и $\alpha = 0{,}05$ критическое значение $\chi^2_{0,05}(2) \approx 5{,}99$. Если вычисленная статистика $LM = 7{,}2 > 5{,}99$, мы отвергаем $H_0$ и заключаем, что дисперсия ошибок не постоянна. Аналогично смотрят на $p$-значение: $p < \alpha$ означает значимую гетероскедастичность.

Число степеней свободы критерия равно числу регрессоров вспомогательной регрессии без константы. В стандартном варианте это $k$ - тех же, что в исходной модели. Если включают квадраты или взаимодействия, число степеней свободы растёт.

Сравнение с тестом Уайта

Тест Бройша-Пагана и тест Уайта направлены на одну проблему, но устроены по-разному. Тест Бройша-Пагана использует линейную вспомогательную регрессию (только $x_j$), поэтому хорошо выявляет линейную зависимость дисперсии от факторов и остаётся мощным при малых выборках: число параметров вспомогательной модели равно $k + 1$. Тест Уайта добавляет квадраты и кросс-произведения, что делает его универсальнее для нелинейной гетероскедастичности, но число степеней свободы растёт быстро - при $k = 3$ вспомогательная регрессия включает уже 9 дополнительных регрессоров. На малой выборке это снижает мощность.

Практическое правило: начинайте с теста Бройша-Пагана. Если он не обнаруживает гетероскедастичность, но экономическая логика подсказывает нелинейную зависимость дисперсии - проверьте тестом Уайта.

Коррекция гетероскедастичности

Если тест Бройша-Пагана отвергает гомоскедастичность, есть три основных подхода.

Робастные стандартные ошибки Уайта (HC). Сохраняем МНК-оценки коэффициентов, но пересчитываем дисперсии с поправкой на гетероскедастичность: $\hat{V}_{HC} = (X'X)^{-1} X' \hat{\Omega} X (X'X)^{-1}$, где $\hat{\Omega} = \operatorname{diag}(e_1^2, \dots, e_n^2)$. Это быстрый способ получить корректные $t$-тесты без смены оценщика.

Взвешенный МНК (WLS). Если форма гетероскедастичности известна (например, $\sigma_i^2 \propto x_i$), умножаем каждое наблюдение на вес $w_i = 1 / \hat{\sigma}_i$. WLS эффективнее обычного МНК, когда предположение о форме дисперсии верно.

Преобразование переменных. Логарифмирование зависимой переменной ($\ln y$ вместо $y$) часто само по себе стабилизирует дисперсию в моделях с мультипликативной структурой ошибок - классика для моделей заработной платы или цен.

Ограничения теста Бройша-Пагана

Несмотря на широкое применение, тест имеет известные ограничения. Во-первых, классическая версия предполагает нормальность ошибок: при тяжёлых хвостах статистика $LM$ размером $ESS/2$ становится несостоятельной. Именно поэтому модификацию Кенкера рекомендуют как умолчание. Во-вторых, тест обнаруживает только линейную зависимость дисперсии от регрессоров: нелинейные формы (например, U-образная) могут ускользнуть. В-третьих, при очень маленьких выборках ($n < 20$) асимптотика $\chi^2$ плохо работает, и выводы ненадёжны.

Рассчитать для своей задачи

Пример применения

Рассмотрим модель потребительских расходов: $C_i = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{Доход}_i + \beta_2 \cdot \text{Состав семьи}_i + \varepsilon_i$, $n = 50$. МНК даёт остатки $e_i$. Находим $\hat{\sigma}^2_{ML} = \frac{1}{50}\sum e_i^2 = 144$. Строим вспомогательную регрессию $p_i = e_i^2 / 144$ на Доход и Состав семьи. Пусть $ESS_{aux} = 11{,}4$. Тогда $LM = 11{,}4 / 2 = 5{,}7$.

Критическое значение $\chi^2_{0,05}(2) = 5{,}99$. Поскольку $LM = 5{,}7 < 5{,}99$, нулевая гипотеза не отвергается при $\alpha = 0{,}05$. Но при $\alpha = 0{,}10$ критическое значение $\chi^2_{0,10}(2) = 4{,}61 < 5{,}7$ - и здесь мы уже видим значимую гетероскедастичность. Это демонстрирует, как выбор уровня значимости влияет на вывод, и почему эконометристы часто смотрят на $p$-значение целиком.

Частые ошибки

• Не нормировать остатки. В оригинальном тесте Бройша-Пагана регрессируют $p_i = e_i^2 / \hat{\sigma}^2_{ML}$, а не просто $e_i^2$. Пропуск деления изменяет масштаб статистики.
• Неверное число степеней свободы. Степеней свободы у $\chi^2$ столько, сколько регрессоров во вспомогательной регрессии без константы. Если включить квадраты факторов, это $2k$ или больше.
• Путать ESS/2 и n·R². В классической версии статистика $LM = ESS/2$; в модификации Кенкера $LM = n \cdot R^2_{aux}$. Эти формулы дают разные числа на одних данных.
• Делать выводы при малой выборке. При $n < 30$ асимптотика хи-квадрат ненадёжна; используйте ресэмплинг или точные тесты.
• Игнорировать нелинейную гетероскедастичность. Отрицательный результат теста Бройша-Пагана не означает отсутствия гетероскедастичности вообще - только линейной. Дополняйте тестом Уайта при подозрении на нелинейность.

FAQ

Зачем нужен тест Бройша-Пагана, если можно посмотреть на график остатков? График остатков - первичная диагностика, но субъективная. Тест Бройша-Пагана даёт формальный статистический критерий с уровнем значимости, что позволяет корректно принять или отвергнуть нулевую гипотезу и документировать результат в академической работе.

Что делать, если тест даёт значимый результат, но форма гетероскедастичности неизвестна? Применяйте робастные стандартные ошибки Уайта (HC3 - наиболее консервативный вариант). Это корректирует дисперсии коэффициентов без предположений о форме $\sigma_i^2$. В R это опция coeftest(model, vcov = hccm(model, type = "HC3")).

Влияет ли порядок включения факторов во вспомогательную регрессию на результат? Нет. Статистика $LM$ зависит от $R^2$ или $ESS$ вспомогательной регрессии, которые не зависят от порядка включения переменных.

Коротко

Тест Бройша-Пагана проверяет гомоскедастичность через вспомогательную регрессию квадратов остатков на объясняющие переменные модели. Статистика $LM = ESS/2$ (или $n \cdot R^2$ в модификации Кенкера) сравнивается с $\chi^2(k)$. При значимом результате используйте робастные ошибки Уайта, взвешенный МНК или логарифмирование переменных. Тест эффективен при линейной гетероскедастичности; для нелинейной дополняйте его тестом Уайта.