Теорема Планшереля: сохранение нормы в преобразовании Фурье

Теорема Планшереля - это утверждение о том, что преобразование Фурье не «теряет энергию»: норма функции в пространстве $L^2$ ровно равна норме её спектра. Иначе говоря, сумма квадратов значений сигнала во времени совпадает с суммой квадратов значений его частотного образа. Этот факт делает преобразование Фурье унитарным оператором и лежит в основе всей теории сигналов, квантовой механики и гармонического анализа. Ниже разберём точную формулировку теоремы Планшереля, её отличие от равенства Парсеваля для рядов, схему доказательства и типичные задачи. Если нужно быстро прогнать конкретную функцию через эту схему, соберите постановку в интерактивном разборе сразу под введением.

Рассчитать для своей задачи

Что утверждает теорема Планшереля

Пусть $f \in L^2(\mathbb{R})$ - функция, интегрируемая с квадратом, а $\hat{f}$ - её преобразование Фурье. Теорема Планшереля утверждает, что преобразование Фурье продолжается до унитарного оператора на $L^2(\mathbb{R})$ и сохраняет норму:

$$\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2\, dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat{f}(\xi)|^2\, d\xi.$$

Здесь преобразование Фурье берётся в симметричной нормировке

$$\hat{f}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, e^{-i\xi x}\, dx,$$

при которой константа в равенстве равна единице. В других нормировках (например с множителем $e^{-2\pi i \xi x}$) равенство сохраняется ровно в том же виде, а при «несимметричной» нормировке появляется множитель $2\pi$. Главное содержание теоремы Планшереля в том, что величина $\|f\|_2 = \|\hat{f}\|_2$ - это инвариант: преобразование Фурье поворачивает функцию в пространстве $L^2$, но не меняет её длину.

Энергия сигнала и физический смысл

Самая наглядная интерпретация теоремы Планшереля - закон сохранения энергии сигнала. Если $f(t)$ описывает напряжение или амплитуду колебания во времени, то интеграл $\int |f(t)|^2\, dt$ - это полная энергия сигнала. Теорема говорит, что ту же энергию можно вычислить, проинтегрировав квадрат модуля спектра $|\hat{f}(\xi)|^2$ по всем частотам. Функция $|\hat{f}(\xi)|^2$ называется спектральной плотностью энергии: она показывает, как энергия распределена по частотам.

Именно поэтому инженеры свободно переходят между временным и частотным описанием сигнала - энергетический баланс при этом не нарушается. В квантовой механике та же теорема означает, что вероятность остаётся нормированной при переходе от координатного представления волновой функции к импульсному.

Чем теорема Планшереля отличается от равенства Парсеваля

Эти два утверждения тесно связаны, и их часто путают. Равенство Парсеваля исходно формулируется для рядов Фурье: для периодической функции сумма квадратов коэффициентов ряда равна среднему квадрату самой функции. Это дискретный случай - спектр представлен счётным набором коэффициентов. Подробнее дискретную версию мы разбирали в материале про неравенство Бесселя и ряд Фурье, где сумма квадратов коэффициентов сначала оценивается сверху, а при полноте системы обращается в равенство.

Теорема Планшереля - это непрерывный аналог того же закона: вместо суммы по дискретным частотам стоит интеграл по непрерывной оси частот. Иногда обе формы называют общим словом «теорема Парсеваля-Планшереля». Запомнить разницу просто: ряд Фурье и сумма коэффициентов - это Парсеваль, интеграл Фурье и интеграл по частотам - это Планшерель.

Рассчитать для своей задачи

Поляризационное тождество и сохранение скалярного произведения

Сохранение нормы - это частный случай более сильного утверждения: преобразование Фурье сохраняет скалярное произведение. Для любых $f, g \in L^2(\mathbb{R})$ выполняется

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, \overline{g(x)}\, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\, \overline{\hat{g}(\xi)}\, d\xi.$$

Это и есть определение унитарного оператора: он сохраняет скалярное произведение, а значит и углы, и длины. Из сохранения скалярного произведения теорема Планшереля получается подстановкой $g = f$, а в обратную сторону норму можно «развернуть» обратно в скалярное произведение через поляризационное тождество

$$\langle f, g \rangle = \frac{1}{4}\left( \|f + g\|^2 - \|f - g\|^2 + i\|f + ig\|^2 - i\|f - ig\|^2 \right).$$

Поэтому формулировки «сохраняет норму» и «сохраняет скалярное произведение» логически эквивалентны.

Схема доказательства

Главная трудность в том, что преобразование Фурье изначально определено формулой-интегралом лишь для абсолютно интегрируемых функций ($f \in L^1$), а пространство $L^2$ шире и уже его не содержит целиком. Стандартная схема такова.

Сначала равенство $\|f\|_2 = \|\hat{f}\|_2$ доказывают на «хорошем» плотном классе - например на функциях Шварца (бесконечно гладких, быстро убывающих) или на $L^1 \cap L^2$. Здесь работают формула обращения Фурье и теорема Фубини: квадрат нормы спектра расписывают как двойной интеграл, меняют порядок интегрирования и сворачивают к норме самой функции.

Затем используют плотность этого класса в $L^2$: так как преобразование Фурье на нём сохраняет норму, оно является изометрией и по непрерывности однозначно продолжается на всё $L^2$. Для произвольной $f \in L^2$ преобразование понимают как предел в среднеквадратичном смысле:

$$\hat{f}(\xi) = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-N}^{N} f(x)\, e^{-i\xi x}\, dx,$$

где предел берётся по норме $L^2$, а не поточечно. Наконец, то же продолжение строят для обратного преобразования и проверяют, что они взаимно обратны, - отсюда унитарность.

Простой проверочный пример

Полезно увидеть теорему Планшереля «в числах» на функции, у которой и сама норма, и спектр считаются явно. Возьмём гауссиан $f(x) = e^{-x^2/2}$. Его преобразование Фурье в симметричной нормировке снова гауссиан: $\hat{f}(\xi) = e^{-\xi^2/2}$ (гауссиан - собственная функция преобразования Фурье). Тогда

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}, \qquad \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\xi^2}\, d\xi = \sqrt{\pi},$$

и обе нормы совпадают - теорема выполняется буквально. Для прямоугольного импульса проверка нагляднее по сути теоремы: узкий импульс во времени даёт широкий спектр (функцию $\operatorname{sinc}$), но интеграл от квадрата $\operatorname{sinc}$ в точности компенсирует ширину, и энергия сохраняется.

Где теорема Планшереля работает

• В цифровой обработке сигналов - как закон сохранения энергии при переходе во частотную область и обратно (через быстрое преобразование Фурье).
• В квантовой механике - нормировка волновой функции одинакова в координатном и импульсном представлении.
• В гармоническом анализе - как способ корректно определить преобразование Фурье на $L^2$, где интеграл сам по себе может расходиться.
• В теории вероятностей - для характеристических функций и плотностей, связанных преобразованием Фурье.

Частые ошибки

• Путают норму $L^1$ и $L^2$. Теорема Планшереля сохраняет именно $L^2$-норму (интеграл от квадрата). Для интеграла от модуля $\int |f|$ никакого равенства нет.
• Забывают про нормировку. В «несимметричной» нормировке преобразования Фурье в равенстве появляется множитель $2\pi$. Всегда фиксируйте нормировку до вычислений.
• Считают преобразование поточечно для всех $f \in L^2$. На $L^2 \setminus L^1$ интеграл может расходиться - преобразование определено только как предел в среднем, а не в каждой точке.
• Подменяют Планшереля Парсевалем. Парсеваль - про ряды и сумму коэффициентов, Планшерель - про интеграл Фурье и интеграл по частотам.
• Пропускают модуль. Для комплекснозначных функций сохраняется $\int |f|^2$, а не $\int f^2$ - квадрат модуля, а не просто квадрат.

FAQ

Чем теорема Планшереля отличается от равенства Парсеваля? Парсеваль формулируется для рядов Фурье (дискретный спектр, сумма квадратов коэффициентов), Планшерель - для интеграла Фурье на $L^2(\mathbb{R})$ (непрерывный спектр, интеграл по частотам). Это непрерывный аналог одного и того же закона сохранения нормы.

Почему говорят, что преобразование Фурье унитарно? Унитарный оператор сохраняет скалярное произведение, а значит норму и углы. Теорема Планшереля как раз и означает, что преобразование Фурье на $L^2$ сохраняет норму, то есть является унитарным (изометрическим и обратимым) оператором.

Можно ли применять теорему к любой функции? Нет, только к функциям из $L^2$ - интегрируемым с квадратом. Для них определены и сама функция как элемент $L^2$, и её спектр, и обе нормы конечны. Для функций без конечной $L^2$-нормы теорема неприменима.

Коротко

Теорема Планшереля утверждает, что преобразование Фурье сохраняет $L^2$-норму: интеграл от квадрата модуля функции равен интегралу от квадрата модуля её спектра. Это делает преобразование Фурье унитарным оператором, выражает закон сохранения энергии сигнала и служит непрерывным аналогом равенства Парсеваля для рядов. Доказывается продолжением изометрии с плотного класса гладких функций на всё $L^2$; проверяется на гауссиане, где функция и спектр совпадают.