Средний уровень интервального ряда: формула и расчёт

Интервальный ряд распределения возникает всякий раз, когда признак (зарплата, возраст, балл теста) принимает слишком много значений, чтобы перечислять их по одному, -- их группируют в промежутки. Но как только данные сгруппированы, точные значения внутри каждого интервала уже недоступны: видна только частота попаданий в промежуток. Именно поэтому средний уровень интервального ряда считают не обычным средним арифметическим, а взвешенным -- через середины интервалов. Разберём формулу, составим расчётную таблицу и проверим результат на двух примерах. Чтобы сразу увидеть, как меняется среднее при изменении частот, воспользуйтесь калькулятором ниже.

Что такое средний уровень и зачем он нужен

Средний уровень -- это одна из мер центральной тенденции: он показывает, вокруг какого значения сосредоточено большинство наблюдений. Для дискретного ряда его вычисляют напрямую как среднее арифметическое всех значений. Для интервального ряда точные значения неизвестны -- есть лишь диапазоны и их частоты. Стандартное допущение: все значения внутри интервала распределены равномерно, а значит, их среднее совпадает с серединой промежутка.

Это допущение вводит небольшую погрешность, но она тем меньше, чем уже интервалы и чем равномернее наблюдения внутри них. На практике для большинства экономических и социальных данных погрешность пренебрежимо мала, и метод середин считается стандартным.

Формула среднего уровня интервального ряда

Пусть ряд содержит $k$ интервалов. Обозначим:

• $a_i$ и $b_i$ -- левая и правая границы $i$-го интервала,
• $x_i' = \dfrac{a_i + b_i}{2}$ -- середина интервала,
• $f_i$ -- частота (число наблюдений, попавших в интервал),
• $n = \displaystyle\sum_{i=1}^{k} f_i$ -- общий объём выборки.

Тогда средний уровень интервального ряда:

$\bar{x} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k} x_i' \cdot f_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k} f_i} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k} x_i' \cdot f_i}{n}.$

Рассчитать для своей задачи

Формула -- это взвешенное среднее арифметическое, где роль весов играют частоты $f_i$. Интервал с большей частотой вносит больший вклад в итоговое среднее, и оно смещается в его сторону. Если все частоты равны, формула вырождается в простое среднее середин.

Расчётная таблица: как её правильно составить

Стандартный способ вычисления -- таблица из пяти столбцов:

После заполнения таблицы делим сумму произведений на $n$ -- получаем $\bar{x}$.

Накопленные частоты $F_i$ в последнем столбце нужны не для $\bar{x}$, но пригодятся при нахождении медианы и моды интервального ряда -- они часто входят в одно задание.

Пример 1: средняя зарплата сотрудников

Дан ряд распределения 78 сотрудников по месячной зарплате (тыс. руб.):

Найдём середины и произведения:

$$\begin{aligned} x_1' &= 25, & x_1' f_1 &= 25 \cdot 8 = 200,\\ x_2' &= 35, & x_2' f_2 &= 35 \cdot 15 = 525,\\ x_3' &= 45, & x_3' f_3 &= 45 \cdot 22 = 990,\\ x_4' &= 55, & x_4' f_4 &= 55 \cdot 18 = 990,\\ x_5' &= 65, & x_5' f_5 &= 65 \cdot 10 = 650,\\ x_6' &= 75, & x_6' f_6 &= 75 \cdot 5 = 375. \end{aligned}$$

$\sum x_i' f_i = 200 + 525 + 990 + 990 + 650 + 375 = 3730.$

$\bar{x} = \frac{3730}{78} \approx 47{,}8 \text{ тыс. руб.}$

Рассчитать для своей задачи

Обратите внимание: наибольшая частота у интервала [40; 50), но среднее сдвинуто правее -- к 47,8 тыс. руб. -- из-за того, что интервалы с высокими зарплатами ([50;60), [60;70)) тоже достаточно насыщены.

Пример 2: средний балл теста

Результаты тестирования 52 студентов (баллы 0-100):

$\sum x_i' f_i = 10 \cdot 4 + 30 \cdot 10 + 50 \cdot 18 + 70 \cdot 14 + 90 \cdot 6 = 40 + 300 + 900 + 980 + 540 = 2760.$

$\bar{x} = \frac{2760}{52} \approx 53{,}1 \text{ балл.}$

Результат близок к середине шкалы -- группа показала средний уровень подготовки.

Связь с модой и медианой интервального ряда

Средний уровень, мода и медиана -- три разные меры центра. Для интервального ряда они, как правило, не совпадают.

• Мода -- середина наиболее частого интервала (modal class), уточнённая по интерполяции.
• Медиана -- значение, делящее накопленный ряд пополам: находят интервал, в котором накопленная частота впервые превысила $n/2$, и уточняют формулой:

$\text{Me} = a_{\text{ме}} + h \cdot \frac{n/2 - F_{\text{ме}-1}}{f_{\text{ме}}},$

где $a_{\text{ме}}$ -- левая граница медианного интервала, $h$ -- его ширина, $F_{\text{ме}-1}$ -- накопленная частота до него, $f_{\text{ме}}$ -- частота самого интервала.

При симметричном распределении среднее, мода и медиана совпадают. При правостороннем скосе (длинный хвост вправо): $\text{Mo} < \text{Me} < \bar{x}$. Это типично для распределений зарплат и доходов.

Рассчитать для своей задачи

Взвешенное среднее: когда частоты заменяются долями

Иногда таблица задана не частотами $f_i$, а относительными частотами (долями) $w_i = f_i / n$, при этом $\sum w_i = 1$. Формула не меняется по существу:

$\bar{x} = \sum_{i=1}^{k} x_i' \cdot w_i.$

Это прямо видно из исходной формулы: при делении числителя и знаменателя на $n$ получим то же самое. Важно: если в задаче даны проценты (например, 20%), их нужно перевести в доли (0,20) перед подстановкой.

Частые ошибки

• Использовать границы вместо середин. Самая распространённая ошибка -- брать $a_i$ или $b_i$ вместо $x_i' = (a_i + b_i)/2$. Середина -- это не левая и не правая граница интервала.
• Делить не на $n$, а на $k$. Делитель -- это сумма всех частот ($n$), а не число интервалов ($k$). Если $k = 5$ и $n = 50$, то делят на 50.
• Игнорировать открытые крайние интервалы. Если первый интервал задан как «до 30» или последний как «80 и выше», его ширину берут равной смежным интервалам (экстраполяция). Молчать про это в ответе -- ошибка.
• Путать частоту и накопленную частоту. В столбце $f_i$ записывают частоту данного интервала, а не кумулятивную сумму. Кумулята нужна для медианы, но не для среднего.
• Округлять промежуточные произведения. Округляйте только итоговый ответ; промежуточные $x_i' f_i$ держите точными, иначе ошибка накопится.

FAQ

Почему для интервального ряда нельзя найти точное среднее? Потому что исходные данные потеряны при группировке: видно только, что в интервал [40; 50) попали 22 наблюдения, но неизвестно -- 40,1 или 49,8. Середина интервала -- лучшая несмещённая оценка при допущении о равномерном распределении внутри каждого промежутка.

Как быть, если интервалы разной ширины? Формула $\bar{x} = \sum x_i' f_i / n$ остаётся прежней: середину по-прежнему берут как $(a_i + b_i)/2$, а ширина интервала в расчёт среднего не входит. Разная ширина влияет на высоту столбца гистограммы (там нужна плотность $f_i / h_i$), но не на среднее.

Чем средний уровень интервального ряда отличается от средней хронологической? Средняя хронологическая применяется к временным рядам уровней (например, остатки на начало каждого месяца) и учитывает длину периодов. Средний уровень интервального ряда -- это характеристика вариационного ряда (распределения признака), и здесь "уровень" в смысле "типичное значение признака", а не "значение показателя в момент времени".

Коротко

Средний уровень интервального ряда вычисляется по формуле взвешенной средней $\bar{x} = \sum x_i' f_i / n$, где $x_i'$ -- середина интервала, $f_i$ -- частота, $n$ -- общий объём выборки. Составьте таблицу (интервал, середина, частота, произведение), просуммируйте произведения и поделите на $n$. Главные ошибки -- взять границу вместо середины и разделить на число интервалов вместо суммы частот. Калькулятор выше позволяет проверить любой ряд: измените частоты ползунками и получите среднее с расчётом.