Период полураспада: расчёт по формуле с примерами

Период полураспада - это время, за которое распадается ровно половина исходного количества радиоактивных ядер. Через один такой период остаётся половина ядер, через два - четверть, через три - одна восьмая, и так далее. Само число ядер при этом не обнуляется никогда: распад идёт по экспоненте, и каждый следующий период убирает половину от того, что осталось. Ниже разберём, как из этого простого правила выводится рабочая формула расчёта, как период полураспада связан с постоянной распада и активностью, и как доводить типовую задачу до числа без ошибок в единицах. Чтобы сразу почувствовать связь времени, периода и доли оставшихся ядер, покрутите калькулятор: он показывает кривую распада с засечками на каждом периоде и пересчитывает число ядер мгновенно.

Что такое период полураспада

Период полураспада $T$ (часто обозначают $T_{1/2}$) - это характеристика конкретного радионуклида: время, за которое число нераспавшихся ядер уменьшается вдвое. Он не зависит ни от количества вещества, ни от температуры, ни от давления - это фундаментальное свойство ядра. У разных изотопов он отличается на десятки порядков: у йода-131 около 8 суток, у углерода-14 примерно 5730 лет, а у некоторых ядер - доли секунды.

Ключевая идея в том, что распад - случайный процесс для отдельного ядра, но статистически предсказуемый для большого их числа. За каждый период полураспада уходит ровно половина оставшихся ядер, поэтому убывание идёт не линейно, а геометрической прогрессией: $N_0 \to N_0/2 \to N_0/4 \to N_0/8$.

Рассчитать для своей задачи

Формула расчёта числа оставшихся ядер

Если за один период остаётся половина ядер, то за время $t$, в котором укладывается $t/T$ периодов, остаётся доля $(1/2)^{t/T}$. Отсюда основная формула расчёта числа нераспавшихся ядер:

$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T},$

где $N_0$ - начальное число ядер, $N$ - число оставшихся через время $t$, а $T$ - период полураспада. Главное условие: $t$ и $T$ должны быть в одних и тех же единицах времени. Доля распавшихся ядер тогда равна $1 - (1/2)^{t/T}$.

Эту же формулу удобно записать через экспоненту с основанием $e$:

$N = N_0\, e^{-\lambda t}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{T}.$

Здесь $\lambda$ - постоянная распада: вероятность распада одного ядра в единицу времени. Обе записи эквивалентны, потому что $(1/2)^{t/T} = e^{-(\ln 2)\, t / T} = e^{-\lambda t}$. Постоянную распада $\lambda$ и период $T$ всегда можно пересчитать друг в друга через $\lambda T = \ln 2 \approx 0{,}693$.

Рассчитать для своей задачи

На графике хорошо видно, почему распад называют экспоненциальным: кривая круто падает в начале и всё медленнее приближается к нулю, но никогда его не достигает. Засечки на уровнях $N_0/2$, $N_0/4$, $N_0/8$ стоят через равные промежутки времени - это и есть периоды полураспада. Обратите внимание: показатель степени $t/T$ не обязан быть целым. Если со старта прошло полтора периода, в формулу честно подставляется $1{,}5$, и остаётся $(1/2)^{1{,}5} \approx 0{,}354$, то есть около $35\,\%$ ядер. Целые степени двойки (1/2, 1/4, 1/8) - лишь удобные опорные точки, а сама зависимость непрерывна.

Связь с активностью

На практике число ядер напрямую не измеряют - измеряют активность $A$, то есть число распадов в единицу времени. Активность пропорциональна числу имеющихся ядер:

$A = \lambda N = \frac{\ln 2}{T}\, N.$

Поскольку $N$ убывает по тому же экспоненциальному закону, активность тоже падает вдвое за каждый период полураспада:

$A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}, \qquad A_0 = \lambda N_0.$

Это удобно: если в условии задачи сказано, что активность уменьшилась в 8 раз, значит, прошло три периода полураспада ($2^3 = 8$), потому что отношение активностей равно отношению чисел ядер. Единица активности в СИ - беккерель (Бк), один распад в секунду; внесистемная единица - кюри (Ки), причём $1\ \text{Ки} = 3{,}7 \cdot 10^{10}$ Бк.

Через активность задают и так называемый средний срок жизни ядра $\tau = 1/\lambda = T/\ln 2 \approx 1{,}44\,T$. Это время, за которое число ядер падает в $e$ раз (примерно в $2{,}72$), а не вдвое - поэтому средний срок жизни всегда чуть больше периода полураспада. Не путайте эти две характеристики: в задачах на расчёт почти всегда фигурирует именно период $T$, а $\tau$ встречается там, где удобнее работать с экспонентой $e^{-t/\tau}$.

Как найти сам период полураспада

Часто в задаче известно, во сколько раз уменьшилось число ядер или активность за заданное время, а найти нужно сам период $T$. Тогда формулу разворачивают логарифмированием. Из $N/N_0 = (1/2)^{t/T}$ следует:

$T = \frac{t \ln 2}{\ln(N_0 / N)} = \frac{t}{\log_2(N_0 / N)}.$

Например, если за время $t$ число ядер упало в $k$ раз, то $T = t / \log_2 k$. При уменьшении в 2 раза получится $T = t$, в 4 раза - $T = t/2$, в 8 раз - $T = t/3$. Этот приём - быстрый способ прикинуть период полураспада в уме, когда кратность распада оказывается степенью двойки.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: период полураспада изотопа $T = 8$ суток, начальное число ядер $N_0 = 1000$. Нужно найти, сколько ядер останется через $t = 24$ суток, какая доля распадётся и чему равна постоянная распада.

Сначала считаем, сколько периодов уложилось во времени:

$\frac{t}{T} = \frac{24}{8} = 3.$

Значит, число ядер уменьшится вдвое три раза подряд. Подставляем в основную формулу:

$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 1000 \cdot \frac{1}{8} = 125.$

Осталось 125 ядер, распалось $1000 - 125 = 875$, то есть $87{,}5\,\%$. Наконец, постоянная распада:

$\lambda = \frac{\ln 2}{T} = \frac{0{,}693}{8} \approx 0{,}087\ \text{сут}^{-1}.$

Проверка согласованности: за три периода доля оставшихся равна $(1/2)^3 = 0{,}125 = 12{,}5\,\%$, что в сумме с распавшимися $87{,}5\,\%$ даёт ровно $100\,\%$. Калькулятор выше собирает именно эту цепочку: введите свои $N_0$, $T$ и $t$ - и он покажет число оставшихся ядер, долю распавшихся и постоянную распада, оставляя вам контроль над единицами.

Частые ошибки

• Разные единицы у $t$ и $T$. Если период задан в сутках, а время в часах, формула $(1/2)^{t/T}$ даст бессмыслицу. Сначала приведите оба значения к одной единице времени.
• Линейная экстраполяция вместо экспоненты. За два периода распадается не «вдвое больше, чем за один», а три четверти ядер: $1 - (1/2)^2 = 0{,}75$. Распад не складывается линейно.
• Путаница доли оставшихся и доли распавшихся. Формула $(1/2)^{t/T}$ даёт долю именно оставшихся ядер. Доля распавшихся - это $1$ минус результат.
• Постоянная распада без логарифма. $\lambda$ не равна $1/T$: правильно $\lambda = \ln 2 / T \approx 0{,}693/T$. Множитель $\ln 2$ теряют чаще всего.
• Округление до нуля. Через много периодов ядер остаётся мало, но не ноль. Если в ответе получился ноль, проверьте, не отбросили ли вы дробную часть раньше времени.

FAQ

Сколько вещества останется через 3 периода полураспада? За каждый период остаётся половина, поэтому через три периода остаётся $(1/2)^3 = 1/8$, то есть $12{,}5\,\%$ исходного количества. Распадётся при этом $87{,}5\,\%$.

Как связаны период полураспада и постоянная распада? Через соотношение $\lambda = \ln 2 / T$, или $\lambda T = \ln 2 \approx 0{,}693$. Зная одно, всегда можно найти другое. Постоянная распада - это вероятность распада ядра в единицу времени, а период - время уменьшения числа ядер вдвое.

Зависит ли период полураспада от температуры или количества вещества? Нет. Период полураспада - неизменная характеристика конкретного изотопа. Ни нагрев, ни давление, ни масса образца его не меняют: распад определяется только свойствами самого ядра.

Коротко

Период полураспада $T$ - время, за которое число радиоактивных ядер уменьшается вдвое. Число оставшихся ядер считается по формуле $N = N_0 (1/2)^{t/T} = N_0 e^{-\lambda t}$, где постоянная распада $\lambda = \ln 2 / T$. Активность падает по тому же закону, $A = \lambda N$. Главное в расчётах - держать $t$ и $T$ в одних единицах и помнить, что распад идёт по экспоненте, а не линейно: за каждый период уходит половина того, что осталось.