Электронный захват ядром: формула, энергия и распад

Электронный захват ядром, или K-захват, это вид радиоактивного распада, при котором ядро втягивает один из ближайших к нему орбитальных электронов и сливает его с протоном. Протон превращается в нейтрон, заряд ядра уменьшается на единицу, а массовое число остаётся прежним: $(Z, A) \to (Z-1, A)$. Из ядра при этом вылетает только электронное нейтрино, поэтому захват трудно зарегистрировать напрямую и обнаруживают его чаще по характеристическому рентгену, который испускает перестроившаяся электронная оболочка. Ниже разберём реакцию по нуклонам, выведем формулу энергии захвата, посчитаем активность и период полураспада, сравним захват с конкурирующим бета-плюс распадом и покажем, где студенты ошибаются. Чтобы сразу почувствовать, как период полураспада задаёт активность, а разность масс делится между нейтрино и ядром, покрути калькулятор ниже.

Что происходит при электронном захвате

Электронный захват затрагивает не свободный электрон, а связанный, который принадлежит самому атому. Ближе всего к ядру электроны K-оболочки, поэтому захватывается обычно именно K-электрон, отсюда и второе название процесса. На уровне отдельных частиц реакция выглядит так:

$p + e^- \to n + \nu_e.$

Протон ядра поглощает электрон и становится нейтроном, а избыток лептонного заряда уносит электронное нейтрино $\nu_e$. Для ядра в целом это означает превращение:

${}^{A}_{Z}\mathrm{X} + e^- \to {}^{\;A}_{Z-1}\mathrm{Y} + \nu_e.$

Зарядовое число $Z$ падает на единицу, то есть в таблице Менделеева ядро сдвигается на одну клетку влево, а массовое число $A$ не меняется, потому что нуклон не исчезает, а только меняет сорт. После захвата на K-оболочке остаётся дырка, её заполняет электрон с более высокой оболочки, и разница энергий высвечивается характеристическим рентгеновским квантом или передаётся оже-электрону. Именно этот вторичный рентген чаще всего и регистрируют, поскольку нейтрино проходит сквозь детектор почти без следа.

Рассчитать для своей задачи

Формула энергии электронного захвата

Энергию, выделяющуюся при захвате, называют энергией реакции $Q$. Она определяется разностью масс покоя начального и конечного состояний. Если использовать массы нейтральных атомов, что удобно, потому что захваченный электрон уже учтён в массе материнского атома, то формула принимает вид:

$Q = \left[ M(\mathrm{X}) - M(\mathrm{Y}) \right] c^2 - E_{\text{св}},$

где $M(\mathrm{X})$ и $M(\mathrm{Y})$ это массы нейтральных атомов матери и дочери, а $E_{\text{св}}$ это энергия связи захваченного электрона на его оболочке. Для оценки $E_{\text{св}}$ берут энергию связи на K-оболочке дочернего элемента: для лёгких ядер это десятки электронвольт, для тяжёлых десятки килоэлектронвольт. Поскольку $1$ а.е.м. эквивалентна $931{,}494$ МэВ, разность масс удобно сразу переводить в мегаэлектронвольты.

Главная особенность захвата в том, что в конечном состоянии всего две частицы: дочернее ядро и нейтрино. Из законов сохранения энергии и импульса следует, что почти вся энергия $Q$ достаётся нейтрино, а ядру остаётся лишь крошечная энергия отдачи:

$E_{\text{отд}} \approx \frac{Q^2}{2 M(\mathrm{Y}) c^2}.$

Для типичных значений $Q$ порядка одного мегаэлектронвольта отдача ядра составляет лишь десятки электронвольт. Поэтому спектр нейтрино при электронном захвате моноэнергетический, это линия, а не сплошная полоса, и в этом ключевое отличие от бета-распадов, где энергия делится на три тела. Калькулятор выше показывает это делением потока $Q$ на нейтринную долю и почти невидимую отдачу ядра.

Как считать активность и период полураспада

Электронный захват, как любой радиоактивный распад, подчиняется статистическому закону: вероятность распада каждого ядра в единицу времени постоянна и равна постоянной распада $\lambda$. Число ещё не распавшихся материнских ядер убывает по экспоненте:

$N(t) = N_0\, e^{-\lambda t} = N_0 \left( \tfrac{1}{2} \right)^{t / T_{1/2}},$

а постоянная распада связана с периодом полураспада простым соотношением:

$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \approx \frac{0{,}693}{T_{1/2}}.$

Активность источника это число распадов в секунду, измеряется в беккерелях и равна $A = \lambda N$. Значит, активность падает по тому же закону, что и число ядер:

$A(t) = \lambda N_0 \left( \tfrac{1}{2} \right)^{t / T_{1/2}} = A_0 \left( \tfrac{1}{2} \right)^{t / T_{1/2}}.$

За каждый период полураспада и число ядер, и активность уменьшаются ровно вдвое: через один период остаётся $50\%$, через два $25\%$, через три $12{,}5\%$. Это и рисует калькулятор золотой точкой на кривой распада, привязывая выбранный момент времени к доле оставшихся ядер.

Рассчитать для своей задачи

Период полураспада у изотопов, распадающихся захватом, лежит в огромном диапазоне. У бериллия-7 это около $53$ суток, у железа-55 почти три года, у калия-40 порядка миллиарда лет, что и делает пару калий-аргон удобными ядерными часами для геохронологии. Зная период и начальное число ядер, по формулам выше легко получить активность в любой момент.

Чем электронный захват отличается от бета-плюс распада

Электронный захват и позитронный, он же бета-плюс, распад приводят к одному и тому же результату: $Z$ уменьшается на единицу, $A$ сохраняется. Конкурируют они в одних и тех же протоноизбыточных ядрах. Разница в энергетическом пороге и в наборе частиц.

При бета-плюс распаде ядро рождает позитрон и нейтрино, а это требует создать массу позитрона. Поэтому позитронный распад возможен, только если энерговыделение превышает удвоенную массу электрона:

$\left[ M(\mathrm{X}) - M(\mathrm{Y}) \right] c^2 > 2 m_e c^2 = 1{,}022\ \text{МэВ}.$

Электронный захват такого порога не имеет, ему достаточно, чтобы масса материнского атома просто превышала массу дочернего. Поэтому когда энерговыделение мало, доступен только захват, а бета-плюс распад запрещён по энергии. У тяжёлых ядер захват к тому же выигрывает геометрически: электронные оболочки плотнее прижаты к ядру, и вероятность поймать электрон растёт. По спектру отличие наглядное: при захвате нейтрино моноэнергетическое, а при бета-плюс распаде энергия делится между позитроном и нейтрино, давая непрерывный спектр позитронов.

Рассчитать для своей задачи

Где это встречается в задачах

Самые частые постановки задач строятся вокруг трёх вещей. Первая это сама запись реакции: дано ядро, нужно указать дочернее и перечислить вылетающие частицы. Здесь важно не забыть нейтрино и помнить, что бета-частицы при чистом захвате не вылетают. Вторая это расчёт энергии $Q$ по табличным массам атомов и проверка, разрешён ли заодно бета-плюс распад. Третья это кинетика: по периоду полураспада найти активность через заданное время или, наоборот, по падению активности оценить возраст образца. Все три типа собирает калькулятор выше: он считает $Q$ из разности масс, даёт постоянную распада и активность и показывает долю оставшихся ядер на выбранный момент.

Частые ошибки

• Захват путают с присоединением свободного электрона. Захватывается связанный орбитальный электрон самого атома, чаще всего с K-оболочки, а не электрон извне. Поэтому процесс идёт самопроизвольно и не требует внешнего пучка.
• Забывают про нейтрино. При электронном захвате из ядра вылетает электронное нейтрино, и без него не сходится баланс лептонного числа и энергии. Записывать реакцию только как $p + e^- \to n$ неверно.
• Меняют массовое число. Захват не меняет $A$: нуклон не исчезает, протон лишь превращается в нейтрон. Меняется только $Z$, причём в меньшую сторону.
• Считают, что энергия делится поровну. Почти всю энергию $Q$ уносит нейтрино, ядру достаётся ничтожная отдача. Спектр нейтрино моноэнергетический, а не сплошной.
• Путают порог с бета-плюс распадом. Электронному захвату порог $1{,}022$ МэВ не нужен, он возможен и при малом энерговыделении, когда позитронный распад запрещён.

FAQ

Чем электронный захват отличается от бета-минус распада? Это противоположные процессы. При бета-минус распаде нейтрон превращается в протон, вылетают электрон и антинейтрино, и $Z$ растёт. При электронном захвате протон превращается в нейтрон, ядро поглощает электрон, вылетает нейтрино, и $Z$ уменьшается. Захват характерен для протоноизбыточных ядер, бета-минус для нейтроноизбыточных.

Почему электронный захват трудно обнаружить? Единственная частица, покидающая ядро, это нейтрино, которое почти не взаимодействует с веществом. Прямого заряженного излучения от самого акта захвата нет. Регистрируют процесс по вторичным эффектам: характеристическому рентгену и оже-электронам, которые испускает электронная оболочка, заполняя дырку на K-уровне.

Какие изотопы распадаются электронным захватом? Классические примеры это бериллий-7, железо-55, йод-125 и калий-40. У всех у них недостаточно энергии или нет нейтронного избытка для других каналов, поэтому захват доминирует. Калий-40 благодаря огромному периоду полураспада используют в калий-аргоновом методе датирования горных пород.

Коротко

Электронный захват ядром это распад, при котором ядро поглощает орбитальный K-электрон, протон превращается в нейтрон по реакции $p + e^- \to n + \nu_e$, заряд $Z$ уменьшается на единицу, а массовое число $A$ сохраняется. Энергия захвата равна $Q = [M(\mathrm{X}) - M(\mathrm{Y})]c^2 - E_{\text{св}}$ и почти целиком уносится моноэнергетическим нейтрино. Кинетика подчиняется обычному закону распада $A(t) = A_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ с постоянной $\lambda = \ln 2 / T_{1/2}$. В отличие от бета-плюс распада, захвату не нужен порог $1{,}022$ МэВ, поэтому при малом энерговыделении он остаётся единственным каналом.