Относительное удлинение и сужение: формулы и расчёт

Относительное удлинение и относительное сужение - это две главные характеристики пластичности материала, которые определяют при испытании образца на растяжение. Их находят, сравнивая размеры образца до нагружения и после разрыва: насколько он стал длиннее и насколько утонился в месте разрушения. Обе величины измеряют в процентах, и чем они больше, тем пластичнее материал. Ниже разберём, как выводятся формулы относительного удлинения и относительного сужения через длину и диаметр образца, чем эти характеристики отличаются и где студенты чаще всего путаются в расчётах. Чтобы сразу увидеть связь размеров и пластичности, задай свои значения в калькуляторе ниже: он пересчитывает обе величины и показывает их на схеме образца, а дальше разберём каждую формулу строго.

Что показывают эти характеристики

При испытании на растяжение стандартный образец зажимают в машине и плавно растягивают до разрыва. На образце заранее отмечают расчётную длину $l_0$ и измеряют начальный диаметр $d_0$. По мере нагружения образец равномерно удлиняется, а перед разрушением в одном месте образуется шейка - локальное утонение, где и происходит разрыв. После испытания две половинки складывают вместе и измеряют конечную расчётную длину $l_1$ и наименьший диаметр в шейке $d_1$.

Рассчитать для своей задачи

Относительное удлинение отражает, насколько образец вытянулся в целом, по всей расчётной длине. Относительное сужение отражает, насколько сжалось поперечное сечение в месте разрыва. Это разные стороны одного процесса: пластичный материал и сильно вытягивается, и заметно утоняется, а хрупкий разрушается почти без изменения размеров.

Формула относительного удлинения

Относительное удлинение после разрыва $\delta$ - это отношение приращения расчётной длины к её исходному значению, выраженное в процентах:

$\delta = \frac{l_1 - l_0}{l_0} \cdot 100\%,$

где $l_0$ - исходная расчётная длина образца, а $l_1$ - расчётная длина после разрыва (измеренная на сложенных половинках). Например, если образец с расчётной длиной $l_0 = 100$ мм после разрыва стал длиной $l_1 = 120$ мм, то

$\delta = \frac{120 - 100}{100} \cdot 100\% = 20\%.$

Важная деталь: относительное удлинение зависит от того, какую расчётную длину взяли. Поэтому в обозначении часто пишут индекс - $\delta_5$ или $\delta_{10}$, где число показывает кратность расчётной длины диаметру ($l_0 = 5d_0$ или $l_0 = 10d_0$). Короткий образец даёт большее значение $\delta$, потому что вклад шейки распределяется на меньшую длину.

Формула относительного сужения

Относительное сужение $\psi$ - это отношение уменьшения площади поперечного сечения в шейке к исходной площади, тоже в процентах:

$\psi = \frac{A_0 - A_1}{A_0} \cdot 100\%,$

где $A_0$ - начальная площадь поперечного сечения, $A_1$ - наименьшая площадь сечения в шейке после разрыва. Для круглого образца площадь выражается через диаметр, $A = \dfrac{\pi d^2}{4}$, и множитель $\pi/4$ сокращается:

$\psi = \frac{d_0^2 - d_1^2}{d_0^2} \cdot 100\%.$

То есть достаточно знать два диаметра. Если $d_0 = 10$ мм, а в шейке $d_1 = 6$ мм, то

$\psi = \frac{10^2 - 6^2}{10^2} \cdot 100\% = \frac{100 - 36}{100} \cdot 100\% = 64\%.$

Рассчитать для своей задачи

Обрати внимание: сужение считается по квадратам диаметров, а не по самим диаметрам. Уменьшение диаметра в 1,6 раза (с 10 до 6 мм) даёт сужение площади на 64%, а не на 40% - именно поэтому $\psi$ обычно заметно больше $\delta$.

Чем удлинение отличается от сужения

Хотя обе величины характеризуют пластичность, они измеряют её по-разному и не равны друг другу. Относительное удлинение усредняется по всей расчётной длине, поэтому сильно зависит от размеров образца и от того, попала ли шейка в зону измерения. Относительное сужение определяется только в месте разрыва и от длины образца не зависит - поэтому его считают более «чистой» мерой пластичности материала.

Рассчитать для своей задачи

На практике для пластичных сталей $\psi$ может достигать 50-70%, тогда как $\delta$ редко превышает 25-30%. У хрупких материалов вроде чугуна обе величины малы: разрыв наступает почти без шейки и без заметного удлинения. Поэтому, оценивая материал, инженеры смотрят на обе характеристики сразу - калькулятор выше показывает их рядом на одной диаграмме именно для такого сравнения.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: круглый образец имел расчётную длину $l_0 = 100$ мм и диаметр $d_0 = 10$ мм. После испытания на растяжение длина стала $l_1 = 120$ мм, а диаметр в шейке $d_1 = 6$ мм. Найти относительное удлинение и относительное сужение.

Сначала находим относительное удлинение по приращению длины:

$\delta = \frac{l_1 - l_0}{l_0} \cdot 100\% = \frac{120 - 100}{100} \cdot 100\% = 20\%.$

Затем считаем относительное сужение через квадраты диаметров, без перевода в площади:

$\psi = \frac{d_0^2 - d_1^2}{d_0^2} \cdot 100\% = \frac{100 - 36}{100} \cdot 100\% = 64\%.$

Если хочется проверить через площади, посчитаем их явно: $A_0 = \dfrac{\pi \cdot 10^2}{4} \approx 78{,}5$ мм², $A_1 = \dfrac{\pi \cdot 6^2}{4} \approx 28{,}3$ мм². Тогда $\psi = \dfrac{78{,}5 - 28{,}3}{78{,}5} \cdot 100\% \approx 64\%$ - то же значение. Вывод: материал пластичный, причём сужение заметно больше удлинения, что типично для вязких сталей. Калькулятор в начале статьи собирает ровно эту цепочку рассуждений и оставляет тебе контроль над числами и единицами.

Частые ошибки

• Сужение считают по диаметрам, а не по площадям. Формула $\psi = (d_0 - d_1)/d_0$ неверна. Площадь зависит от квадрата диаметра, поэтому правильно $\psi = (d_0^2 - d_1^2)/d_0^2$.
• Путаница, что в числителе. В числителе всегда стоит разность размеров (приращение длины или убыль площади), в знаменателе - исходное значение. Если поделить на конечное, ответ будет неверным.
• Удлинение без указания расчётной длины. Значение $\delta$ зависит от кратности $l_0/d_0$. Сравнивать $\delta_5$ и $\delta_{10}$ напрямую нельзя - это разные величины.
• Перепутаны местами начальный и конечный размеры. Длина после разрыва больше исходной, а диаметр в шейке меньше исходного. Если знак разности вышел отрицательным, значения переставлены.
• Считают, что δ и ψ должны совпадать. Это разные характеристики, и для пластичных материалов сужение обычно заметно больше удлинения.

FAQ

Чем относительное удлинение отличается от относительного сужения? Относительное удлинение $\delta$ показывает, насколько вытянулась вся расчётная длина образца, а относительное сужение $\psi$ - насколько уменьшилась площадь поперечного сечения в месте разрыва. Удлинение зависит от длины образца, сужение - нет, поэтому сужение считают более точной мерой пластичности.

Как посчитать относительное сужение, если известны только диаметры? Для круглого образца площадь пропорциональна квадрату диаметра, поэтому множитель $\pi/4$ сокращается и формула упрощается до $\psi = (d_0^2 - d_1^2)/d_0^2 \cdot 100\%$. Достаточно подставить начальный диаметр и диаметр в шейке после разрыва.

Почему относительное сужение обычно больше относительного удлинения? Удлинение усредняется по всей расчётной длине, а сужение измеряется локально в шейке, где деформация максимальна. К тому же сужение считается по квадратам диаметров, поэтому даже небольшое утонение даёт большое значение $\psi$. Для пластичных сталей $\psi$ нередко вдвое-втрое больше $\delta$.

Коротко

Относительное удлинение $\delta = (l_1 - l_0)/l_0 \cdot 100\%$ и относительное сужение $\psi = (A_0 - A_1)/A_0 \cdot 100\%$ - две характеристики пластичности, которые определяют по размерам образца до и после разрыва. Для круглого образца сужение удобно считать через квадраты диаметров: $\psi = (d_0^2 - d_1^2)/d_0^2 \cdot 100\%$. Удлинение усредняется по всей длине и зависит от размеров образца, а сужение измеряется локально в шейке и точнее отражает пластичность материала, поэтому обычно оказывается больше удлинения.