Модель экономичного размера заказа: формула Уилсона

Модель экономичного размера заказа (EOQ, economic order quantity) отвечает на простой практический вопрос: сколько единиц товара заказывать у поставщика за один раз, чтобы суммарные затраты на закупку и хранение запаса были минимальны. Чем крупнее партия, тем реже приходится оформлять заказ и тем меньше затрат на сам заказ за год, но тем больше товара лежит на складе и тем выше затраты на хранение. Модель находит ту самую точку баланса между этими двумя противоположно устроенными затратами - формулу для неё в 1913 году вывел Форд Харрис, а в экономическую практику её ввёл Р. Х. Уилсон, поэтому формулу часто называют формулой Уилсона. Ниже - сам вывод, разбор входящих величин и калькулятор, который пересчитывает оптимальный размер партии и все связанные показатели по вашим числам.

Что показывает модель и какие у неё допущения

EOQ - это классическая модель управления запасами с несколькими упрощающими предположениями: спрос $D$ известен и постоянен во времени (не колеблется по сезонам), затраты на оформление одного заказа $S$ не зависят от размера партии, затраты на хранение единицы товара $H$ за период постоянны, поставка приходит мгновенно партией целиком (либо с фиксированным известным временем выполнения заказа), а дефицит и просроченные заказы не допускаются. При этих условиях уровень запаса на складе описывается пилообразным графиком: сразу после поставки на складе лежит $Q$ единиц, дальше запас равномерно расходуется до нуля, и в момент, когда он подходит к нулю, приходит новая партия - цикл повторяется.

Из чего складываются затраты

Годовые затраты, связанные с запасом, разбиваются на две части с противоположной динамикой относительно размера партии $Q$.

Затраты на заказ зависят от того, сколько раз в год приходится заказывать. Если годовая потребность равна $D$, а размер одной партии $Q$, то число заказов в год равно $D/Q$, а затраты на заказ за год:

$C_{зак}(Q) = \frac{D}{Q}\, S.$

Чем крупнее партия, тем реже заказ - эта составляющая падает с ростом $Q$.

Затраты на хранение зависят от того, сколько товара в среднем лежит на складе. При равномерном расходовании средний запас равен половине партии, $Q/2$, поэтому годовые затраты на хранение:

$C_{хран}(Q) = \frac{Q}{2}\, H.$

Эта составляющая, наоборот, растёт линейно вместе с $Q$. Суммарные затраты, зависящие от размера заказа:

$TC(Q) = \frac{D}{Q}\, S + \frac{Q}{2}\, H.$

Ниже показано, как меняется сам запас во времени при найденном оптимальном размере партии - обратите внимание, что цикл строго повторяется, и в момент обнуления запаса приходит новая поставка того же объёма.

Рассчитать для своей задачи

Вывод формулы Уилсона

Чтобы найти размер партии, минимизирующий $TC(Q)$, берём производную по $Q$ и приравниваем к нулю:

$\frac{d\,TC}{dQ} = -\frac{D\,S}{Q^2} + \frac{H}{2} = 0.$

Отсюда:

$Q^2 = \frac{2DS}{H} \quad\Longrightarrow\quad Q^{*} = \sqrt{\frac{2DS}{H}}.$

Это и есть формула Уилсона. Вторая производная $2DS/Q^3$ положительна при $Q>0$, значит найденная точка - действительно минимум, а не максимум. Геометрически это видно и без производной: гипербола затрат на заказ и прямая затрат на хранение пересекаются ровно там, где сумма двух кривых минимальна, - калькулятор выше строит обе кривые и их сумму одновременно, подсветку минимума можно увидеть визуально.

Число заказов, период между ними и минимальные затраты

Зная $Q^{*}$, легко получить остальные показатели модели. Число заказов в год:

$N = \frac{D}{Q^{*}},$

время между заказами (доля года, при переводе в дни умножается на 365):

$T = \frac{Q^{*}}{D},$

а минимальные суммарные затраты можно посчитать как через $Q^{*}$, так и по компактной формуле, куда $Q$ уже не входит:

$TC(Q^{*}) = \sqrt{2\,D\,S\,H}.$

Возьмём пример: годовая потребность $D = 1000$ ед./год, затраты на оформление заказа $S = 50$ руб., затраты на хранение единицы $H = 10$ руб./ед. в год. Тогда:

$Q^{*} = \sqrt{\frac{2\cdot 1000\cdot 50}{10}} = \sqrt{10\,000} = 100\ \text{ед.}$

Заказывать нужно партиями по 100 единиц. Число заказов в год $N = 1000/100 = 10$, период между заказами $T = 100/1000 = 0{,}1$ года, то есть $36{,}5$ дня, а минимальные затраты $TC(Q^{*}) = \sqrt{2\cdot 1000\cdot 50\cdot 10} = \sqrt{1\,000\,000} = 1000$ руб. в год.

Почему в оптимуме затраты на заказ равны затратам на хранение

Ключевое и часто неочевидное свойство модели: в точке $Q^{*}$ обе составляющие затрат равны друг другу и каждая равна ровно половине минимальных суммарных затрат. Проверим на числах примера: затраты на заказ при $Q^{*}=100$ равны $\frac{D}{Q^{*}}S = 10\cdot 50 = 500$ руб., затраты на хранение равны $\frac{Q^{*}}{2}H = 50\cdot 10 = 500$ руб. - действительно поровну, и в сумме дают $TC(Q^{*}) = 1000$ руб. Это не совпадение, а прямое следствие условия $dTC/dQ=0$: при равенстве $DS/Q = (Q/2)H$ производная обращается в ноль.

Рассчитать для своей задачи

Из этого же свойства следует практический вывод об устойчивости модели: рядом с минимумом суммарная кривая затрат довольно пологая, поэтому небольшая ошибка в размере партии (скажем, заказали на 20% больше или меньше расчётного $Q^{*}$) почти не увеличивает суммарные затраты - это одна из причин, почему формулу Уилсона используют даже при не идеально точных исходных данных.

Ограничения модели и когда её не применять

Классическая EOQ хорошо работает для товаров со стабильным, предсказуемым спросом и без сезонных скачков. Она перестаёт быть точной, если поставщик даёт скидки за объём партии (тогда нужна модель EOQ со скидками, где сравнивают несколько ценовых диапазонов), если спрос заметно колеблется и нужен страховой запас на случай дефицита, или если время выполнения заказа непостоянно. В этих случаях базовую формулу используют как отправную точку для более сложных моделей управления запасами, а не как окончательный ответ.

Частые ошибки

• Путают период оборота с числом заказов. $N = D/Q^{*}$ - это именно число заказов за период (обычно год), а не количество дней между ними; для дней нужно $T$, переведённое из доли года.
• Забывают привести $D$ и $H$ к одному периоду. Если спрос дан в год, а затраты на хранение - за месяц, формула даст неверный результат: обе величины должны относиться к одному и тому же периоду (обычно году).
• Считают, что модель учитывает цену закупки. Затраты на покупку товара $D\cdot C$ - константа, не зависящая от $Q$, поэтому она не влияет на $Q^{*}$ и в модель EOQ не подставляется; в формулу входят только затраты на заказ $S$ и хранение $H$.
• Игнорируют единицы измерения $H$. Затраты на хранение - это затраты на единицу товара за период (например, руб./ед. в год), а не общая сумма хранения склада и не процент от цены - хотя на практике $H$ часто и считают как долю от цены единицы.
• Путают $Q^{*}$ с точкой заказа. Оптимальный размер партии $Q^{*}$ отвечает на вопрос «сколько заказывать», а не «когда заказывать» - момент подачи заказа определяет точка возобновления заказа (reorder point), зависящая от времени выполнения заказа поставщиком.

FAQ

Что означает буква Q в формуле Уилсона? $Q$ - это размер одной партии заказа в единицах товара, а $Q^{*}$ - тот единственный размер партии, при котором суммарные затраты на заказ и хранение минимальны.

Как формула Уилсона связана с точкой возобновления заказа? Формула Уилсона даёт ответ на вопрос «сколько заказывать» ($Q^{*}$), а не «когда заказывать». Момент подачи нового заказа определяется отдельно - как расход запаса за время выполнения заказа поставщиком, и в модель EOQ впрямую не входит.

Можно ли использовать модель EOQ, если поставщик даёт скидку за большой объём? В базовом виде - нет: формула Уилсона предполагает постоянную цену закупки независимо от размера партии. Со скидками применяют модификацию EOQ, где для каждого ценового диапазона считается свой $Q^{*}$ и сравниваются итоговые суммарные затраты, включая уже саму стоимость закупки.

Коротко

Модель экономичного размера заказа ищет размер партии $Q^{*} = \sqrt{2DS/H}$, при котором суммарные затраты на заказ ($DS/Q$) и на хранение ($QH/2$) минимальны, а в самой точке минимума эти две составляющие равны друг другу. Зная $Q^{*}$, легко получить число заказов в год $D/Q^{*}$, период между ними $Q^{*}/D$ и минимальные затраты $\sqrt{2DSH}$. Модель работает при постоянном известном спросе и фиксированных затратах на заказ и хранение; при скидках за объём или нестабильном спросе нужны её расширения.