Лучистый перенос в атмосфере звезды: как свет выходит наружу

Звезда не имеет твёрдой поверхности: её атмосфера - это разреженный газ, сквозь который изнутри наружу медленно «протискивается» излучение. Свет, рождённый в недрах, не вылетает свободно - он бесчисленное число раз поглощается и переизлучается, и именно эта борьба поглощения и испускания определяет, какой мы видим звезду: её цвет, спектр, температуру поверхности и даже то, почему диск Солнца тусклее по краям. Лучистый перенос в атмосфере звезды - это и есть аккуратное описание того, как энергия проходит последние сантиметры газа и покидает звезду. Ниже соберём задачу в калькуляторе и посмотрим, как температура слоя зависит от того, насколько глубоко он спрятан.

Что переносит энергию в атмосфере звезды

В недрах звезды энергия может переноситься двумя способами: конвекцией (перемешиванием горячего и холодного газа) и излучением. В атмосферах большинства звёзд главного режима, включая Солнце над зоной конвекции, работает именно лучистый перенос - энергия идёт наружу потоком фотонов. Газ при этом не движется как целое: переносится не вещество, а излучение.

Ключевая идея в том, что фотон в плотном газе не летит по прямой далеко. Он проходит короткий путь, поглощается атомом или рассеивается на электроне, затем испускается новый фотон в случайном направлении. Наружу свет выбирается не пролётом, а длинным случайным блужданием - и чем плотнее и непрозрачнее газ, тем дольше энергия выбирается на свободу. Эта непрозрачность - центральная величина всей теории.

Оптическая глубина: главная координата

Расстояние в атмосфере удобно мерить не в метрах, а в том, насколько газ непрозрачен на этом пути. Эту меру называют оптической глубиной $\tau$. Она набирается вдоль луча через коэффициент поглощения $\kappa$ и плотность $\rho$:

$$d\tau = -\kappa \rho \, dz$$

Здесь $z$ - высота (растёт наружу), а знак минус делает $\tau$ растущей вглубь. Смысл прост: $\tau = 1$ означает, что на этом отрезке свет в среднем один раз поглотится. Слой с $\tau \ll 1$ прозрачен - мы видим сквозь него; слой с $\tau \gg 1$ непрозрачен - наружу из него ничего напрямую не выходит. Именно $\tau$, а не геометрическая высота, определяет, что мы наблюдаем.

Рассчитать для своей задачи

Уравнение переноса излучения

Формально перенос описывает уравнение переноса. Для плоскопараллельной атмосферы (слои горизонтальны, толщина мала по сравнению с радиусом звезды) его записывают через оптическую глубину и угол луча к нормали $\mu = \cos\theta$:

$$\mu \frac{dI_\nu}{d\tau_\nu} = I_\nu - S_\nu$$

Слева - как меняется интенсивность $I_\nu$ вдоль луча, справа - конкуренция двух процессов. Член $I_\nu$ описывает ослабление: на каждом шаге часть излучения поглощается. Член $S_\nu$ - функция источника - описывает добавку: газ сам излучает в том же направлении. Перенос - это всюду баланс «убыло за счёт поглощения» против «прибыло за счёт испускания».

В условиях, близких к локальному термодинамическому равновесию, функция источника равна функции Планка $S_\nu = B_\nu(T)$ - газ излучает как нагретое до местной температуры тело. Это упрощение и делает задачу решаемой.

Лучистое равновесие и серая атмосфера

Чтобы атмосфера была устойчива, через каждый слой должен идти один и тот же поток энергии: сколько энергии слой поглотил снизу, столько отдал вверх. Это условие лучистого равновесия - оно фиксирует, как должна меняться температура с глубиной, чтобы поток оставался постоянным.

Рассчитать для своей задачи

Чтобы получить ответ в формулах, делают важное упрощение - модель серой атмосферы: считают, что коэффициент поглощения не зависит от частоты. Тогда задача интегрируется, и в приближении Эддингтона температура растёт вглубь по закону:

$$T(\tau)^4 = \frac{3}{4} \, T_{\text{eff}}^4 \left( \tau + \frac{2}{3} \right)$$

Здесь $T_{\text{eff}}$ - эффективная температура: та температура абсолютно чёрного тела, что давала бы тот же полный поток. Этот профиль - то, что считает калькулятор выше: чем глубже слой (больше $\tau$), тем он горячее. У самой границы $\tau = 0$ температура не нулевая, а равна $T(0) = T_{\text{eff}} \cdot (1/2)^{1/4} \approx 0{,}84\,T_{\text{eff}}$ - атмосфера светится даже на «поверхности».

Где рождается то, что мы видим: фотосфера

Из формулы следует красивый факт: при $\tau = 2/3$ получается ровно $T(\tau) = T_{\text{eff}}$. Этот слой называют фотосферой - условной видимой поверхностью звезды. Не глубже и не мельче: на $\tau \approx 2/3$ газ уже достаточно прозрачен, чтобы фотон в среднем покинул звезду, но ещё достаточно плотен, чтобы успеть излучить. Поэтому, говоря «температура поверхности Солнца 5772 К», имеют в виду именно температуру слоя $\tau \approx 2/3$.

Это объясняет, почему по эффективной температуре судят о звезде в целом. Поток с поверхности связан с $T_{\text{eff}}$ законом Стефана-Больцмана $F = \sigma T_{\text{eff}}^4$, а сам $T_{\text{eff}}$ задаёт спектральный класс и положение звезды на диаграмме Герцшпрунга-Рассела. Лучистый перенос - мостик между внутренним потоком энергии и тем, что регистрирует телескоп.

Потемнение диска к краю

Прямое наблюдаемое следствие переноса - потемнение к краю. Если посмотреть на диск Солнца, его центр ярче краёв. Причина чисто в геометрии оптической глубины: луч из центра диска идёт по нормали и доходит до $\tau \approx 2/3$ в глубоких, горячих слоях; луч с края идёт под наклоном, набирает ту же $\tau = 2/3$ выше, в более холодном газе, - и оттуда излучение тусклее.

В линейном приближении Эддингтона относительная яркость точки диска зависит от угла $\mu = \cos\theta$ к нормали так:

$$\frac{I(\mu)}{I(1)} = \frac{2}{5} + \frac{3}{5}\,\mu$$

На самом краю ($\mu = 0$) яркость падает до $2/5 = 0{,}4$ от яркости в центре. Этот закон - второй график в калькуляторе; он прямо вытекает из того, что температура растёт с глубиной. Потемнение к краю - едва ли не самый наглядный «отпечаток» лучистого переноса, доступный даже при аккуратном наблюдении Солнца.

Частые ошибки

• Путать оптическую и геометрическую глубину. $\tau$ - это не метры, а накопленная непрозрачность. Один и тот же $\tau = 1$ в плотной фотосфере - это сантиметры, в разреженной короне - тысячи километров.
• Считать поверхность звезды резкой. Атмосфера прозрачна постепенно; «поверхность» - это слой $\tau \approx 2/3$, а не граница вещества. Фотосфера Солнца размыта на сотни километров.
• Забывать про $2/3$ в профиле температуры. Без слагаемого $2/3$ температура у границы вышла бы нулевой - но граница светится, и именно $2/3$ даёт $T(0) \approx 0{,}84\,T_{\text{eff}}$.
• Смешивать $T_{\text{eff}}$ и реальную температуру слоя. Эффективная температура - характеристика всего потока, а не конкретной точки; равенство $T = T_{\text{eff}}$ выполняется лишь на $\tau = 2/3$.
• Применять серую атмосферу буквально. Реальная непрозрачность зависит от частоты, поэтому в разных линиях спектра мы видим разную глубину. Серая модель - приближение для понимания, не для точного спектра.

FAQ

Почему фотосфера именно на $\tau \approx 2/3$, а не на $\tau = 1$? Значение $2/3$ выходит из усреднения уравнения переноса по углам (приближение Эддингтона): уходящий поток формируется не на одной глубине, а в слое, и эффективный центр выхода приходится на $\tau = 2/3$. Условный «горизонт видимости» $\tau = 1$ - оценка по порядку, а $2/3$ - точный результат серой модели, при котором $T = T_{\text{eff}}$.

Чем лучистый перенос отличается от конвекции? При лучистом переносе энергию несут фотоны, а газ макроскопически покоится. При конвекции энергию несут поднимающиеся объёмы горячего вещества. В атмосфере горячих звёзд и над конвективной зоной Солнца доминирует излучение; глубже, где газ становится непрозрачным, может включаться конвекция.

Зачем нужна функция источника? Функция источника $S_\nu$ описывает, что газ не только поглощает, но и сам излучает. Без неё уравнение переноса описывало бы только затухание света, и атмосфера была бы тёмной. Приравнивание $S_\nu = B_\nu(T)$ в локальном равновесии связывает перенос с температурой и делает спектр звезды тепловым.

Коротко

Лучистый перенос в атмосфере звезды - это описание того, как излучение из недр выбирается наружу сквозь поглощающий газ. Главная координата - оптическая глубина $\tau$, баланс поглощения и испускания задаёт уравнение переноса $\mu\,dI/d\tau = I - S$, а условие лучистого равновесия в модели серой атмосферы даёт рост температуры с глубиной $T(\tau)^4 = \tfrac{3}{4}T_{\text{eff}}^4(\tau + 2/3)$. Уходящее излучение рождается на $\tau \approx 2/3$ - это фотосфера, где $T = T_{\text{eff}}$, а наклонные лучи с края диска выходят из более холодных слоёв, отчего диск темнеет к краю.