Гипотеза Берча Свиннертон-Дайера: ранг и L-функция

Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (часто пишут просто BSD) связывает две вещи, которые на первый взгляд живут в разных мирах: сколько рациональных решений имеет уравнение эллиптической кривой и как ведёт себя особая аналитическая функция этой кривой в одной-единственной точке. Это одна из семи задач тысячелетия Института Клэя с премией в миллион долларов, и до сих пор она доказана лишь частично. Разберём, что именно она утверждает, откуда взялись её слагаемые и почему ранг кривой так трудно вычислить. Если нужно разобрать конкретную кривую или вывод формулы - соберите запрос в форме ниже.

Что такое эллиптическая кривая

Эллиптическая кривая над полем рациональных чисел задаётся уравнением вида

$$y^2 = x^3 + ax + b,$$

где $a$ и $b$ - рациональные числа, а правая часть не имеет кратных корней (условие $4a^3 + 27b^2 \neq 0$, иначе кривая вырождается). Несмотря на название, это не эллипс: термин пришёл из теории эллиптических интегралов.

Главное свойство такой кривой - на множестве её точек можно ввести операцию сложения. Через две точки проводят прямую, она пересекает кубику в третьей точке, а её отражение относительно оси $x$ и объявляют суммой. Эта геометрическая конструкция превращает рациональные точки кривой в абелеву группу с нейтральным элементом - бесконечно удалённой точкой $O$.

Рассчитать для своей задачи

Теорема Морделла и ранг

Что мы знаем о группе рациональных точек $E(\mathbb{Q})$? Теорема Морделла (1922) утверждает: эта группа конечно порождена. Значит, по теореме о структуре конечно порождённых абелевых групп её можно записать как

$$E(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}^r \oplus T,$$

где $T$ - конечная группа кручения (точки конечного порядка), а число $r$ - это ранг кривой: количество независимых точек бесконечного порядка.

Группа кручения $T$ описана полностью: теорема Мазура говорит, что она может быть лишь одной из пятнадцати конкретных групп. А вот ранг $r$ остаётся загадкой. Нет ни известной верхней границы для ранга, ни общего алгоритма, который гарантированно его вычислит. Именно ранг и стоит в центре гипотезы BSD.

L-функция кривой

Вторая героиня - L-функция эллиптической кривой $L(E, s)$. Её строят из локальной информации: для каждого простого числа $p$ смотрят, сколько решений уравнение кривой имеет по модулю $p$. Обозначим это число точек как $N_p$ и введём величину

$$a_p = p + 1 - N_p,$$

которая измеряет, насколько количество точек по модулю $p$ отклоняется от ожидаемого $p+1$. Из этих $a_p$ собирают произведение Эйлера по всем простым, которое для $\operatorname{Re}(s) > 3/2$ определяет аналитическую функцию

$$L(E, s) = \prod_p \frac{1}{1 - a_p\, p^{-s} + p^{1-2s}}$$

(множитель для «плохих» простых, делящих дискриминант, выглядит проще). Благодаря теореме модулярности (бывшая гипотеза Таниямы - Шимуры, доказанная в работах вокруг теоремы Ферма) эту функцию удаётся аналитически продолжить на всю комплексную плоскость. Поэтому говорить о значении $L(E, s)$ в точке $s = 1$ имеет смысл, хотя исходное произведение там расходится.

Рассчитать для своей задачи

Формулировка гипотезы

Теперь можно собрать обе части вместе. Слабая (аналитическая) форма гипотезы Берча и Свиннертон-Дайера утверждает:

$$\operatorname{ord}_{s=1} L(E, s) = r,$$

то есть порядок нуля L-функции в точке $s = 1$ равен рангу кривой. Если $L(E, 1) \neq 0$, ранг равен нулю - рациональных точек конечное число. Если $L(E, 1) = 0$, но производная не ноль, ранг равен единице, и так далее: чем глубже L-функция касается нуля в этой точке, тем больше независимых рациональных точек у кривой.

Сильная форма идёт дальше и предсказывает точный старший коэффициент разложения L-функции в ряд Тейлора около $s=1$:

$$\lim_{s\to 1}\frac{L(E,s)}{(s-1)^r} = \frac{\Omega_E \cdot \operatorname{Reg}(E) \cdot \prod_p c_p \cdot \#\Sha(E)}{(\#E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}})^2}.$$

Здесь $\Omega_E$ - вещественный период, $\operatorname{Reg}(E)$ - регулятор (объём решётки точек), $c_p$ - числа Тамагавы, $\#\Sha(E)$ - порядок группы Тейта - Шафаревича, а знаменатель - квадрат порядка кручения. Самая загадочная величина - группа $\Sha$: даже её конечность в общем случае не доказана.

Это не просто связь чисел

Почему BSD считается такой глубокой? Потому что она строит мост между двумя совершенно разными способами смотреть на кривую. С одной алгебраической стороны стоит ранг - чисто арифметический объект, который говорит о существовании рациональных решений. С другой аналитической - L-функция, построенная из подсчётов по простым модулям и продолженная средствами комплексного анализа.

Идея, что глобальное (число рациональных точек) кодируется в собранной из локальных данных аналитической функции, - это проявление так называемого локально-глобального принципа, одной из центральных тем современной теории чисел. BSD стала образцом для целого семейства гипотез о специальных значениях L-функций, включая программу Ленглендса.

Что уже доказано

Полного доказательства нет, но известно немало:

• Случаи ранга 0 и 1. Работы Коутса - Уайлса (1977), а затем Гросса - Загира и Колывагина (1980-е) доказали: если аналитический ранг (порядок нуля) равен 0 или 1, то он совпадает с алгебраическим рангом. Это основной известный фрагмент гипотезы.
• Численная проверка. Для тысяч конкретных кривых равенство $\operatorname{ord}_{s=1} L = r$ проверено вычислениями, и контрпримеров не найдено.
• Средние результаты. Работы Бхаргавы и его соавторов (2010-е) показали, что положительная доля эллиптических кривых удовлетворяет BSD.

Связь с другими сюжетами теории чисел широка: например, классическая задача о конгруэнтных числах (какое натуральное число является площадью прямоугольного треугольника с рациональными сторонами) переформулируется именно через ранг определённой эллиптической кривой и потому напрямую упирается в BSD. BSD стоит в одном ряду с другими великими открытыми проблемами: как и гипотеза ABC, она связывает простые арифметические данные с тонкой глубинной структурой и десятилетиями сопротивляется полному доказательству.

Частые ошибки

• Считать, что «эллиптическая» значит «эллипс». Это кубическая кривая; название историческое, от эллиптических интегралов.
• Путать ранг и кручение. Кручение $T$ описано теоремой Мазура полностью; неизвестен именно ранг $r$ - число точек бесконечного порядка.
• Думать, что L-функция определена в $s=1$ напрямую. Произведение Эйлера там расходится; значение получается аналитическим продолжением, законность которого даёт теорема модулярности.
• Смешивать слабую и сильную формы. Равенство ранга и порядка нуля - слабая форма; точная формула со $\Sha$, регулятором и числами Тамагавы - сильная.
• Считать гипотезу доказанной. Доказаны лишь случаи аналитического ранга 0 и 1 и частичные средние результаты, общий случай открыт.

FAQ

Зачем вообще связывать ранг с L-функцией? Ранг напрямую вычислить трудно: нет общего алгоритма. L-функцию же можно приближённо посчитать численно. BSD даёт практический способ оценивать ранг через поведение $L(E,s)$ у $s=1$, а заодно вскрывает глубокую структуру теории чисел.

Что такое группа Тейта - Шафаревича? Это $\Sha(E)$ - группа, измеряющая, насколько локально-глобальный принцип нарушается для кривой: классы пространств, у которых есть решения по всем модулям, но нет глобального рационального решения. В сильной форме BSD её порядок входит в формулу, и предполагается, что она конечна.

Решена ли задача тысячелетия? Нет. BSD остаётся открытой; премия Института Клэя в миллион долларов не выплачена. Доказаны лишь частные случаи (ранг 0 и 1) и усреднённые утверждения.

Коротко

Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера утверждает, что порядок нуля L-функции эллиптической кривой в точке $s=1$ равен рангу её группы рациональных точек, а сильная форма задаёт и точный старший коэффициент через период, регулятор, числа Тамагавы и группу Шафаревича. Это мост между арифметикой (сколько рациональных решений) и анализом (поведение L-функции), доказанный пока лишь для аналитического ранга 0 и 1 и остающийся одной из семи задач тысячелетия.