Функция Эйри: уравнение, нули и физика

Функция Эйри возникает в задачах, где потенциал линейно зависит от координаты: квантовая частица в треугольной яме, распространение света вблизи точки поворота луча, дифракция на прямом крае. В каждом из этих случаев решение уравнения движения сводится к одному и тому же объекту - функции $\mathrm{Ai}(x)$ или её напарнице $\mathrm{Bi}(x)$. Ниже можно сразу подвигать ползунок и посмотреть, как выглядит $\mathrm{Ai}(x)$ в любой точке и что происходит на переходе от осцилляций к экспоненциальному убыванию.

Что такое уравнение Эйри

Уравнение Эйри - это второй порядок обыкновенного дифференциального уравнения:

$$y'' = x \, y.$$

Несмотря на лаконичность, оно не решается через элементарные функции. Коэффициент при $y$ зависит от $x$, поэтому стандартные приёмы - экспоненциальная подстановка или метод характеристического уравнения - здесь не работают.

Уравнение впервые систематически изучил Джордж Бидделл Эйри в 1838 году в связи с задачей о дифракции света вблизи каустики. Именно тогда выяснилось, что решения имеют принципиально разное поведение на двух полуосях: при $x < 0$ обе функции осциллируют с амплитудой, постепенно убывающей к нулю, а при $x > 0$ одна убывает экспоненциально, другая - нарастает.

Два линейно независимых решения

Общее решение уравнения $y'' = xy$ записывается как:

$$y(x) = C_1 \, \mathrm{Ai}(x) + C_2 \, \mathrm{Bi}(x),$$

где $\mathrm{Ai}(x)$ и $\mathrm{Bi}(x)$ - два линейно независимых решения, которые принято называть функциями Эйри первого и второго рода. Они однозначно определены начальными значениями в нуле:

$$\mathrm{Ai}(0) = \frac{1}{3^{2/3}\,\Gamma(2/3)} \approx 0.3550, \quad \mathrm{Ai}'(0) = -\frac{1}{3^{1/3}\,\Gamma(1/3)} \approx -0.2588,$$ $$\mathrm{Bi}(0) = \frac{1}{3^{1/6}\,\Gamma(2/3)} \approx 0.6149, \quad \mathrm{Bi}'(0) = \frac{3^{1/6}}{\Gamma(1/3)} \approx 0.4483.$$

Рассчитать для своей задачи

Физический смысл разделения на $\mathrm{Ai}$ и $\mathrm{Bi}$ проявляется в граничных задачах. Если область решения уходит в $+\infty$, то $\mathrm{Bi}(x)$ экспоненциально нарастает и нарушает нормируемость - поэтому в квантовой механике оставляют только $C_1 \, \mathrm{Ai}(x)$, а константу $C_2$ полагают равной нулю.

Интегральное представление

Функцию Эйри можно выразить через интеграл:

$$\mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \cos\!\left(\frac{t^3}{3} + x\,t\right) dt.$$

Это представление удобно для теоретического анализа: при $x > 0$ экспонента быстро осциллирует и гасит интеграл, при $x < 0$ - интеграл даёт вклад от широкой «медленной» зоны. Именно из этого интеграла методом стационарной фазы выводятся обе асимптотики.

Осцилляции и асимптотика при x < 0

При $x \to -\infty$ функция Эйри ведёт себя как:

$$\mathrm{Ai}(x) \sim \frac{1}{\sqrt{\pi}\,|x|^{1/4}} \sin\!\left(\tfrac{2}{3}|x|^{3/2} + \tfrac{\pi}{4}\right),$$ $$\mathrm{Bi}(x) \sim \frac{1}{\sqrt{\pi}\,|x|^{1/4}} \cos\!\left(\tfrac{2}{3}|x|^{3/2} + \tfrac{\pi}{4}\right).$$

Обе функции осциллируют с частотой, растущей пропорционально $|x|^{1/2}$, и убывающей амплитудой $|x|^{-1/4}$. Это характерный признак «классически разрешённой зоны» - в квантовом смысле частица там может находиться.

Рассчитать для своей задачи

Нули функции $\mathrm{Ai}(x)$ расположены только на отрицательной полуоси. Первые четыре:

$$a_1 \approx -2.338, \quad a_2 \approx -4.088, \quad a_3 \approx -5.521, \quad a_4 \approx -6.787.$$

Асимптотически $n$-й нуль приближается формулой:

$$a_n \approx -\left[\tfrac{3\pi}{8}(4n-1)\right]^{2/3}.$$

Экспоненциальное убывание при x > 0

При $x \to +\infty$ функция $\mathrm{Ai}(x)$ убывает:

$$\mathrm{Ai}(x) \sim \frac{1}{2\sqrt{\pi}\,x^{1/4}} \exp\!\left(-\frac{2}{3}x^{3/2}\right),$$

а $\mathrm{Bi}(x)$ нарастает:

$$\mathrm{Bi}(x) \sim \frac{1}{\sqrt{\pi}\,x^{1/4}} \exp\!\left(+\frac{2}{3}x^{3/2}\right).$$

Аргумент экспоненты $\zeta = \tfrac{2}{3}x^{3/2}$ часто называют «аргументом Эйри». При $x = 5$ уже $\zeta \approx 7.45$, и $\mathrm{Ai}(5) \approx 1.08 \times 10^{-4}$ - функция практически равна нулю.

Физические приложения

Квантовая частица в линейном потенциале. Уравнение Шрёдингера $-\hbar^2/(2m) \cdot \psi'' + V(x)\psi = E\psi$ с потенциалом $V = eEx$ (однородное электрическое поле) сводится к уравнению Эйри заменой переменной. Введём масштаб длины $\ell = (\hbar^2/2meE)^{1/3}$ и обезразмеренную переменную $z = (x - E/eE)\,/\,\ell$. Тогда уравнение Шрёдингера принимает точную форму уравнения Эйри: $\psi'' = z\,\psi$. Нормируемое решение - $\psi \propto \mathrm{Ai}(z)$, а нули $\mathrm{Ai}$ задают квантованные уровни энергии для частицы в треугольной яме: полупроводниковый гетеропереход, поверхностные состояния, структуры с двумерным электронным газом (эффект квантового холла).

Дифракция и оптика. Функция Эйри описывает распределение интенсивности вблизи каустики - геометрической «точки поворота» луча, где геометрическая оптика предсказывает бесконечную интенсивность. Функция Эйри регуляризует эту особенность: вместо расходимости получается конечный максимум с боковыми осцилляциями. Полоса Эйри - характерная ширина зоны дифракционного максимума - определяется нулями $\mathrm{Ai}$. Этот эффект наблюдается в радужном рассеянии, радиозондировании атмосферы и лазерных пучках типа Эйри.

Метод ВКБ и точка поворота. В приближении ВКБ (Вентцеля - Крамерса - Бриллюэна) волновая функция записывается через синус или экспоненту, но это приближение ломается вблизи классической точки поворота - там, где $E = V(x)$. Правила связи ВКБ-решений по обе стороны точки поворота - это в точности условие сшивки через функцию Эйри. Поэтому $\mathrm{Ai}(x)$ лежит в основе квантования Бора - Зоммерфельда с поправкой $1/2$ в квантовом числе.

Уравнение Кортевега - де Фриза. Стационарные решения некоторых нелинейных волновых уравнений на малых амплитудах также выражаются через $\mathrm{Ai}$. В частности, линейная часть уравнения КдФ для медленно меняющегося потенциала приводит к уравнению Эйри как предельному случаю.

Вычисление: ряды и рекуррентные соотношения

Для практических вычислений при небольших $|x|$ используют ряд Тейлора. Функции $f(x)$ и $g(x)$ определяются рекуррентно:

$$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{3k}}{(3k)!/(1\cdot4\cdot7\cdots(3k-2))}, \quad g(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{3k+1}}{(3k+1)!/(2\cdot5\cdot8\cdots(3k-1))},$$

и тогда $\mathrm{Ai}(x) = \mathrm{Ai}(0)\,f(x) + \mathrm{Ai}'(0)\,g(x)$. Ряды сходятся при любом $x$, но медленно при $|x| > 5$, поэтому там переходят к асимптотическому разложению.

Современные математические пакеты (SciPy, Matlab, Mathematica) содержат функцию Эйри в стандартной библиотеке с двойной точностью. В SciPy это scipy.special.airy(x), которая возвращает кортеж $(Ai, Ai', Bi, Bi')$ сразу для всех четырёх значений. Для символьных вычислений Mathematica использует AiryAi[x] и AiryBi[x].

Частые ошибки

• Перепутать $\mathrm{Ai}$ и $\mathrm{Bi}$. В физике «нужная» функция - всегда $\mathrm{Ai}$, так как только она убывает при $x \to +\infty$. $\mathrm{Bi}$ нарастает и физически неприемлема при стандартных граничных условиях.
• Подставлять в асимптотику малые $x$. Формулы $\sim \exp(-2x^{3/2}/3)$ и $\sim \sin(2|x|^{3/2}/3 + \pi/4)$ дают большую погрешность при $|x| < 4$. Для таких значений используйте ряд или точные таблицы.
• Забыть фазовый сдвиг $\pi/4$ в асимптотике на отрицательной полуоси. Без него нули формулы не совпадут с настоящими нулями $\mathrm{Ai}$.
• Считать, что $\mathrm{Ai}(0) = 0$. Функция не обращается в нуль при $x = 0$; там $\mathrm{Ai}(0) \approx 0.3550$.
• Путаница с «точкой поворота». Классическая точка поворота - там, где $E = V(x)$, что соответствует нулю аргумента уравнения Эйри, не нулю самой функции.

FAQ

Почему у функции Эйри бесконечно много нулей? На отрицательной полуоси $\mathrm{Ai}(x)$ осциллирует с нарастающей частотой: каждые $\Delta x \approx \pi/(|x|^{1/2})$ приходится один нуль. Так как $|x|$ уходит в бесконечность, нулей накапливается бесконечно много. На положительной полуоси функция монотонно убывает - там нулей нет.

Как функция Эйри связана с функциями Бесселя? Это близкое родство: $\mathrm{Ai}(x) = \tfrac{1}{\pi}\sqrt{x/3}\,K_{1/3}(\tfrac{2}{3}x^{3/2})$ при $x > 0$, где $K_{1/3}$ - модифицированная функция Бесселя второго рода порядка $1/3$. При $x < 0$ $\mathrm{Ai}(-x) = \tfrac{1}{3}\sqrt{x}[J_{-1/3}(\tfrac{2}{3}x^{3/2}) + J_{1/3}(\tfrac{2}{3}x^{3/2})]$.

Как найти уровни энергии треугольной потенциальной ямы через нули $\mathrm{Ai}$? Для потенциала $V = eEx$ при $x > 0$ и $V = \infty$ при $x < 0$ граничное условие $\psi(0) = 0$ означает $\mathrm{Ai}(z_0) = 0$, где $z_0 = -E/(eE \cdot \ell)$, $\ell = (\hbar^2/2meE)^{1/3}$ - характерная длина. Таким образом, уровни энергии $E_n = -a_n \cdot eE \cdot \ell$, где $a_n$ - $n$-й нуль $\mathrm{Ai}$.

Коротко

Функция Эйри $\mathrm{Ai}(x)$ и $\mathrm{Bi}(x)$ - фундаментальные решения уравнения $y'' = xy$. При $x < 0$ они осциллируют с нарастающей частотой, при $x > 0$ - соответственно убывают и нарастают экспоненциально. Нули $\mathrm{Ai}$ задают квантованные уровни энергии в линейном потенциале. Для вычислений: при $|x| \leq 5$ используют ряд Тейлора, при $|x| > 5$ - асимптотические разложения через $\zeta = \tfrac{2}{3}|x|^{3/2}$.