Число пересечений узла: что это и как считать

Число пересечений узла - это наименьшее количество перекрёстов, которое остаётся на любой плоской диаграмме данного узла, как бы хитро её ни перерисовывали. Звучит просто, но за этим определением стоит вся теория узлов: именно число пересечений первым отличает заузленную верёвку от незаузленной и задаёт нумерацию в таблицах узлов (трилистник - это узел $3_1$, потому что его число пересечений равно трём). Ниже разберём, что считается перекрёстом, почему важно слово «минимум», как посчитать число пересечений для трилистника и для целого семейства торических узлов $T(p,q)$, и где в задачах чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь между параметрами узла и числом его пересечений, покрути калькулятор ниже: он рисует диаграмму узла и пересчитывает все инварианты на лету.

Что такое перекрёст и диаграмма узла

Узел в математике - это замкнутая кривая в пространстве, у которой нет концов: представьте верёвку, которую запутали и склеили в петлю. Чтобы работать с таким объектом на бумаге, его проецируют на плоскость и получают диаграмму узла. В каждой точке, где одна часть нити визуально проходит над другой, возникает перекрёст (он же пересечение): на диаграмме верхнюю нить рисуют сплошной, а нижнюю - с разрывом, чтобы было видно, кто сверху.

Одна и та же верёвочная петля даёт бесконечно много диаграмм: можно потянуть, перекрутить, добавить лишних петель - и число перекрёстов на картинке вырастет. Поэтому само по себе «сколько перекрёстов на этой диаграмме» ничего не говорит об узле. Информативна именно нижняя граница: какое наименьшее число перекрёстов в принципе достижимо. Это и есть число пересечений узла $c(K)$.

Почему число пересечений - это минимум

Ключевое слово в определении - минимум по всем диаграммам. Число пересечений узла $K$ это

$c(K) = \min_{D \in \mathcal{D}(K)} (\text{число перекрёстов на } D),$

где минимум берётся по множеству $\mathcal{D}(K)$ всех диаграмм, изображающих этот узел. Любую конкретную диаграмму всегда можно «испортить», накрутив на неё лишние петли, но убрать ниже минимума - нельзя.

Рассчитать для своей задачи

Лишние, устранимые перекрёсты убираются простыми движениями нити - ходами Рейдемейстера. Их три: первый раскручивает завиток-петлю (как на видео выше), второй вытягивает одну нить из-под другой, третий протаскивает нить сквозь перекрёсток. Любые две диаграммы одного узла связаны цепочкой таких ходов. Поэтому доказать, что $c(K) = n$, значит показать две вещи: что есть диаграмма ровно с $n$ перекрёстами и что меньше $n$ не бывает ни у какой диаграммы. Первое - нарисовать картинку, второе - куда тоньше, и именно тут в дело вступают инварианты узла.

Число пересечений трилистника

Самый маленький нетривиальный узел - трилистник. У него ровно три перекрёста, и убрать хотя бы один так и не получается: трилистник нельзя распутать в окружность. Поэтому его число пересечений равно трём, и в таблице узлов он стоит под именем $3_1$.

Рассчитать для своей задачи

Почему именно три, а не два? Можно строго доказать, что любой узел с числом пересечений 0, 1 или 2 - это на самом деле незаузленная окружность (тривиальный узел). С нулём перекрёстов это очевидно. С одним или двумя перекрёстами все возможные диаграммы перебираются вручную, и каждая ходами Рейдемейстера распутывается в круг. Значит, первый настоящий узел появляется только при трёх перекрёстах - и это трилистник. То, что трилистник действительно заузлен, аккуратнее всего показывается раскраской диаграммы в три цвета или через многочлен Джонса - это инварианты, которые у тривиального узла и у трилистника разные.

Торические узлы и формула числа пересечений

Трилистник - частный случай целого семейства, у которого число пересечений считается по явной формуле. Торический узел $T(p,q)$ получается, если намотать нить на поверхность бублика (тора), сделав $p$ оборотов в одну сторону и $q$ - в другую. Чтобы нить замкнулась в один узел, а не в несколько колец, числа $p$ и $q$ должны быть взаимно простыми.

Для взаимно простых $p, q \ge 2$ число пересечений торического узла равно

$c\bigl(T(p,q)\bigr) = \min\bigl(p(q-1),\ q(p-1)\bigr).$

Если $p \le q$, минимум достигается на первом выражении, и формула упрощается до $c = p(q-1)$. Проверим на трилистнике: это $T(2,3)$, поэтому $c = \min(2\cdot 2,\ 3\cdot 1) = \min(4, 3) = 3$ - всё сходится. Для «пятилистника» $T(2,5)$ получаем $c = \min(8, 5) = 5$, то есть узел $5_1$. Вообще для семейства $T(2,n)$ с нечётным $n$ число пересечений равно ровно $n$, поэтому такими узлами можно получить сколь угодно большое число пересечений - наглядно это видно на графике в калькуляторе.

У торического узла есть и другие инварианты, выражающиеся через те же $p$ и $q$: род $g = \tfrac{(p-1)(q-1)}{2}$ (минимальный род натянутой на узел поверхности Зейферта) и мостовое число $b = \min(p,q)$. Все три величины калькулятор показывает столбиками, чтобы было видно, как они растут вместе с $p$ и $q$.

Зачем нужно число пересечений

Число пересечений - это инвариант узла: у двух диаграмм одного и того же узла оно одинаково, поэтому если у двух узлов разные числа пересечений, то это заведомо разные узлы. На этом построена нумерация в таблицах: сначала идут узлы с тремя перекрёстами, затем с четырьмя, и так далее, а нижний индекс просто перечисляет узлы с одинаковым $c$ (например, $5_1$ и $5_2$ - два разных узла с числом пересечений пять).

Правда, инвариант этот не полный: разные узлы могут иметь одинаковое число пересечений, как $5_1$ и $5_2$, поэтому одного числа пересечений не хватает, чтобы различить все узлы. И ведёт оно себя капризно: для связной суммы узлов $K_1 \# K_2$ ожидалось бы равенство $c(K_1 \# K_2) = c(K_1) + c(K_2)$, и эта аддитивность доказана лишь в частных случаях (например, для альтернированных узлов), а в общем виде остаётся открытой гипотезой. Именно поэтому в исследованиях число пересечений почти всегда идёт в связке с другими инвариантами - родом, мостовым числом, многочленами Джонса и Александера.

Частые ошибки

• Считать перекрёсты на первой попавшейся диаграмме. Число пересечений - это минимум по всем диаграммам, а не количество перекрёстов на конкретной картинке. Сначала упростите диаграмму ходами Рейдемейстера, убрав устранимые петли.
• Путать перекрёст и точку пересечения проекции без информации о над/под. Перекрёст обязательно несёт данные о том, какая нить сверху; без этого диаграмма не задаёт узел.
• Брать невзаимно простые p и q. Тогда $T(p,q)$ - это зацепление из нескольких компонент, а не узел, и формула для числа пересечений к нему не применяется.
• Считать число пересечений полным инвариантом. Разные узлы могут иметь одинаковое $c$ ($5_1$ и $5_2$), поэтому равенство чисел пересечений ещё не означает, что узлы одинаковы.
• Предполагать аддитивность по умолчанию. В общем случае $c(K_1 \# K_2) = c(K_1) + c(K_2)$ не доказано, ссылаться на это равенство как на факт нельзя.

FAQ

Чему равно число пересечений трилистника? Трём. Трилистник - это узел $3_1$, у него есть диаграмма с тремя перекрёстами, и доказано, что меньше трёх перекрёстов имеют только тривиальные (незаузленные) диаграммы. Поэтому $c = 3$.

Может ли число пересечений быть равно 1 или 2? Нет, для настоящего узла - не может. Любая диаграмма с нулём, одним или двумя перекрёстами ходами Рейдемейстера распутывается в окружность, то есть задаёт тривиальный узел. Первый нетривиальный узел появляется при трёх перекрёстах.

Как связаны число пересечений и род узла? Это разные инварианты, но для торических узлов оба выражаются через $p$ и $q$: $c = \min(p(q-1), q(p-1))$, а род $g = \tfrac{(p-1)(q-1)}{2}$. В общем случае прямой формулы, связывающей $c$ и $g$ для произвольного узла, нет - обе величины приходится оценивать отдельно.

Коротко

Число пересечений узла $c(K)$ - это минимальное число перекрёстов на любой его диаграмме, и именно слово «минимум» делает его инвариантом, а не свойством конкретной картинки. Для трилистника $c = 3$, и это первый нетривиальный узел: всё, что рисуется одним или двумя перекрёстами, распутывается в окружность. Для торических узлов работает явная формула $c\bigl(T(p,q)\bigr) = \min(p(q-1), q(p-1))$, дающая вместе с родом и мостовым числом удобный набор инвариантов. Число пересечений задаёт нумерацию таблиц узлов, но не различает их полностью, поэтому в теории узлов его всегда используют в связке с другими инвариантами.