Соотношение неопределённостей энергия-время: формула

Соотношение неопределённостей энергия-время - одно из ключевых неравенств квантовой механики. Оно связывает неопределённость энергии состояния $\Delta E$ и характерное время $\Delta t$, за которое эта энергия заметно меняется: $\Delta E \cdot \Delta t \ge \hbar/2$. На практике это означает, что чем дольше система живёт в определённом состоянии, тем точнее определена её энергия, и наоборот: короткоживущее состояние неизбежно имеет размытую энергию. Именно отсюда растёт естественная ширина спектральных линий, время жизни возбуждённых уровней и виртуальные частицы. Ниже разберём смысл неравенства, его формулу и применения, а также где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь времени жизни и ширины линии, покрутите калькулятор ниже: он мгновенно пересчитывает неопределённость энергии и ширину спектральной линии для заданного времени жизни.

Что утверждает соотношение неопределённостей энергия-время

Соотношение записывается в виде неравенства

$\Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2},$

где $\Delta E$ - неопределённость энергии системы, $\Delta t$ - характерный временной интервал, а $\hbar = 1{,}055 \cdot 10^{-34}$ Дж·с - приведённая постоянная Планка. Часто в оценочных задачах используют и более грубую форму $\Delta E \cdot \Delta t \ge \hbar$ - множитель порядка единицы здесь не принципиален, важна сама обратная связь между $\Delta E$ и $\Delta t$.

Главная физическая идея: точно определённая энергия требует бесконечно долгого наблюдения. Состояние, которое существует лишь короткое время $\Delta t$, не может иметь резко заданную энергию - её разброс не меньше, чем $\hbar / (2\Delta t)$. Стационарные состояния с точной энергией живут бесконечно долго; любое реальное возбуждённое состояние распадается, и потому его энергия размыта.

Рассчитать для своей задачи

Чем энергия-время отличается от координата-импульс

Важно понимать: соотношение энергия-время по своему статусу отличается от классического $\Delta x \cdot \Delta p \ge \hbar/2$. В случае координаты и импульса и $x$, и $p$ - это операторы (наблюдаемые), и неравенство строго следует из их коммутатора. А вот время $t$ в нерелятивистской квантовой механике не оператор, а параметр. Поэтому $\Delta t$ здесь - не «неопределённость измерения времени», а характерное время изменения системы: например, время жизни состояния или длительность процесса.

Несмотря на эту разницу, неравенство работает количественно так же. Если за интервал $\Delta t$ наблюдаемая величина успевает заметно измениться, то неопределённость энергии не может быть меньше $\hbar/(2\Delta t)$. Это и делает соотношение рабочим инструментом для оценок.

Естественная ширина спектральной линии

Самое наглядное применение - естественная ширина спектральной линии. Возбуждённый атомный уровень живёт конечное время $\tau$ (время жизни), после чего самопроизвольно излучает фотон и переходит в основное состояние. Подставив $\Delta t = \tau$, получаем минимальную неопределённость энергии уровня:

$\Delta E = \frac{\hbar}{2\tau}.$

Эта неопределённость задаёт масштаб размытия энергии уровня: энергия размыта, поэтому излучаемые фотоны имеют не одну точную частоту, а целый узкий диапазон. Переведём её в частоту через $\Delta E = h\,\Delta\nu$:

$\Delta\nu_{1/2} = \frac{\Delta E}{2\pi\hbar} = \frac{1}{4\pi\tau}.$

Эта величина - полуширина контура (на полувысоте от максимума, HWHM). Полную естественную ширину линии (FWHM), которую и измеряют на опыте, получают из полной ширины уровня $\Gamma = \hbar/\tau$ (см. следующий раздел) и она вдвое больше:

$\Delta\nu_{\text{FWHM}} = \frac{\Gamma}{h} = \frac{1}{2\pi\tau} = 2\,\Delta\nu_{1/2}.$

Рассчитать для своей задачи

Контур линии при этом лоренцев: чем короче время жизни, тем шире и ниже пик. Для типичного атомного уровня со временем жизни $\tau \approx 10$ нс неопределённость энергии $\Delta E \approx 3{,}3 \cdot 10^{-8}$ эВ, что даёт полуширину по частоте около 8 МГц и полную естественную ширину линии (FWHM) около 16 МГц. Это объясняет, почему даже идеально неподвижный изолированный атом даёт не строго монохроматическое излучение. Калькулятор выше позволяет проследить эту зависимость: сдвиньте ползунок к малым $\tau$ - линия резко расширяется.

Время жизни и ширина уровня в ядерной физике

В физике частиц и ядер ту же формулу записывают через полную ширину уровня $\Gamma$ (полная ширина на полувысоте): $\Gamma = \hbar / \tau$. Тогда

$\Gamma \cdot \tau = \hbar.$

Для короткоживущих резонансов время жизни измерить напрямую невозможно - оно слишком мало. Зато экспериментально измеряют ширину резонансного пика $\Gamma$ в энергетическом спектре и из неё вычисляют время жизни $\tau = \hbar / \Gamma$. Например, резонанс с шириной $\Gamma = 100$ МэВ живёт всего $\tau \approx 6{,}6 \cdot 10^{-24}$ с. Так соотношение неопределённостей энергия-время становится прямым измерительным инструментом: ширина линии или пика «рассказывает» о времени жизни состояния, которое иначе зарегистрировать нельзя.

Виртуальные частицы и нарушение сохранения энергии

Соотношение энергия-время объясняет и существование виртуальных частиц. На очень короткое время $\Delta t$ система может «занять» энергию $\Delta E \sim \hbar / \Delta t$ как бы в долг, нарушив сохранение энергии - но только если этот заём успеет «вернуться» за время $\Delta t$. Чем больше нарушение баланса энергии $\Delta E$, тем короче время, на которое оно допустимо.

Именно так работают переносчики взаимодействий: виртуальный фотон или $W$-бозон существует ровно столько, чтобы соотношение не нарушалось. Это даёт оценку радиуса действия сил: тяжёлый переносчик массой $m$ требует энергии $\Delta E \approx mc^2$, живёт время $\Delta t \approx \hbar / (mc^2)$ и за это время проходит расстояние порядка $r \approx \hbar / (mc)$ - комптоновскую длину волны. Так из соотношения неопределённостей оценивают радиус слабого и ядерного взаимодействий.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: возбуждённое состояние атома живёт $\tau = 10$ нс. Найти минимальную неопределённость его энергии (естественную ширину уровня) и соответствующую ширину спектральной линии по частоте.

Сначала переведём время жизни в секунды: $\tau = 10 \cdot 10^{-9} = 10^{-8}$ с. Подставляем в формулу для неопределённости энергии:

$\Delta E = \frac{\hbar}{2\tau} = \frac{1{,}055 \cdot 10^{-34}}{2 \cdot 10^{-8}} = 5{,}3 \cdot 10^{-27}\ \text{Дж}.$

Переведём в электронвольты, разделив на заряд электрона $1{,}6 \cdot 10^{-19}$ Кл:

$\Delta E = \frac{5{,}3 \cdot 10^{-27}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} \approx 3{,}3 \cdot 10^{-8}\ \text{эВ}.$

Наконец, полуширина по частоте:

$\Delta\nu_{1/2} = \frac{1}{4\pi\tau} = \frac{1}{4\pi \cdot 10^{-8}} \approx 8 \cdot 10^{6}\ \text{Гц} = 8\ \text{МГц},$

а полная естественная ширина линии (FWHM) вдвое больше: $\Delta\nu_{\text{FWHM}} = 1/(2\pi\tau) \approx 16$ МГц.

Проверка: чем больше время жизни, тем меньше получаются и $\Delta E$, и $\Delta\nu$ - обратная пропорциональность сохраняется, как и должно быть. Калькулятор выше собирает именно такую цепочку рассуждений автоматически, оставляя вам контроль над единицами и порядком величин.

Частые ошибки

• Трактовка $\Delta t$ как времени измерения. В формуле $\Delta t$ - это характерное время изменения системы (время жизни уровня, длительность процесса), а не «как долго мы смотрели на прибор».
• Считать время оператором. Время в нерелятивистской квантовой механике - параметр, а не наблюдаемая. Поэтому вывод соотношения энергия-время отличается от вывода для координаты и импульса, хотя итоговое неравенство выглядит так же.
• Путаница множителей $\hbar/2$, $\hbar$ и $\Gamma = \hbar/\tau$. Строгая нижняя граница $\hbar/2$, в оценках берут $\hbar$, а ширина уровня $\Gamma = \hbar/\tau$ - это полная ширина на полувысоте. Следите, какую именно величину спрашивают.
• Перевод единиц. Энергию из джоулей в электронвольты переводят делением на $1{,}6 \cdot 10^{-19}$, а нано- и пикосекунды - в секунды до подстановки.
• Вывод о реальном нарушении энергии. Виртуальный «заём» энергии не противоречит закону сохранения: на наблюдаемых временах баланс восстанавливается, нарушать сохранение энергии надолго нельзя.

FAQ

Чему равна естественная ширина уровня при времени жизни 10 нс? Неопределённость энергии $\Delta E = \hbar/(2\tau) \approx 3{,}3 \cdot 10^{-8}$ эВ, что соответствует полуширине по частоте около 8 МГц и полной естественной ширине линии (FWHM) $\Delta\nu = 1/(2\pi\tau) \approx 16$ МГц. Это и есть минимальная, естественная ширина, не считая доплеровского и столкновительного уширения.

Почему соотношение энергия-время не такое строгое, как координата-импульс? Потому что время не является квантовомеханическим оператором - это внешний параметр. Неравенство $\Delta E \cdot \Delta t \ge \hbar/2$ выводится не из коммутатора, а из того, как быстро состояние меняется во времени, но количественно работает так же.

Можно ли с помощью этого соотношения нарушить закон сохранения энергии? Нет. Энергия может «отклоняться» на $\Delta E$ лишь на короткое время $\Delta t \sim \hbar/\Delta E$, после чего баланс восстанавливается. Наблюдаемая, усреднённая по времени энергия сохраняется строго.

Коротко

Соотношение неопределённостей энергия-время $\Delta E \cdot \Delta t \ge \hbar/2$ связывает неопределённость энергии состояния и характерное время его изменения. Из него следует естественная ширина спектральной линии $\Delta E = \hbar/(2\tau)$: короткоживущий уровень имеет широкую линию, долгоживущий - узкую. Через ширину уровня $\Gamma = \hbar/\tau$ соотношение позволяет измерять время жизни короткоживущих резонансов, а на сверхкоротких временах объясняет виртуальные частицы и радиус действия взаимодействий.