Полное внутреннее отражение: критический угол и формулы

Полное внутреннее отражение (ПВО) возникает, когда электромагнитная волна падает из оптически плотной среды в менее плотную под углом, превышающим так называемый критический. В этом режиме преломлённой волны не существует вовсе: вся энергия возвращается обратно. Явление лежит в основе оптоволоконной связи, эндоскопии, призменных перископов и лазерных резонаторов. Чтобы разобраться в нём строго, нужно понять три вещи: закон Снелла, критический угол и коэффициенты отражения Френеля. Покрутите калькулятор ниже - он строит кривые Rs(θ) и Rp(θ) в реальном времени для любой пары сред.

Закон Снелла и условие ПВО

Когда плоская электромагнитная волна переходит из среды с показателем преломления $n_1$ в среду с $n_2$, угол падения $\theta_1$ и угол преломления $\theta_2$ связаны законом Снелла:

$$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2.$$

При $n_1 > n_2$ (переход из плотной среды в редкую) из этого уравнения следует:

$$\sin\theta_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1.$$

Поскольку $n_1/n_2 > 1$, при увеличении $\theta_1$ значение $\sin\theta_2$ растёт быстрее. В некоторый момент $\sin\theta_2 = 1$, то есть $\theta_2 = 90°$: преломлённый луч скользит вдоль границы раздела. Угол падения, при котором это происходит, называется критическим:

$$\theta_c = \arcsin\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right).$$

При $\theta_1 > \theta_c$ уравнение Снелла не имеет вещественного решения для $\theta_2$ - это и есть режим полного внутреннего отражения. Важно: ПВО наступает только при $n_1 > n_2$; если $n_1 \le n_2$, критического угла не существует.

Рассчитать для своей задачи

Формулы Френеля: Rs и Rp

Для произвольного угла падения (не только выше $\theta_c$) коэффициент отражения описывается формулами Френеля, которые различают две поляризации:

• s-поляризация (вектор $\mathbf{E}$ перпендикулярен плоскости падения):

$$r_s = \frac{n_1\cos\theta_1 - n_2\cos\theta_2}{n_1\cos\theta_1 + n_2\cos\theta_2}, \qquad R_s = r_s^2.$$

• p-поляризация (вектор $\mathbf{E}$ лежит в плоскости падения):

$$r_p = \frac{n_2\cos\theta_1 - n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1 + n_1\cos\theta_2}, \qquad R_p = r_p^2.$$

Здесь $\cos\theta_2 = \sqrt{1 - (n_1/n_2)^2\sin^2\theta_1}$. При $\theta_1 \ge \theta_c$ этот корень становится мнимым, и строгий расчёт даёт $|r_s| = |r_p| = 1$, то есть $R_s = R_p = 1$ - стопроцентное отражение.

Обратите внимание на принципиальное отличие двух поляризаций до критического угла: у p-поляризации $R_p$ проходит через ноль при угле Брюстера $\theta_B = \arctan(n_2/n_1)$, где отражения нет вовсе. Для стекло-воздух $\theta_B \approx 33,7°$, а $\theta_c \approx 41,8°$. Именно поэтому в калькуляторе оранжевая кривая $R_p$ сначала падает до нуля, а затем резко поднимается до единицы.

Рассчитать для своей задачи

Эванесцентная волна при ПВО

Исчезновение преломлённой волны не означает, что поле за границей раздела равно нулю. Строгое решение уравнений Максвелла показывает: в менее плотной среде существует эванесцентная волна, затухающая по экспоненте перпендикулярно границе:

$$E \propto \exp\!\left(-\frac{2\pi}{\lambda}\sqrt{n_1^2\sin^2\theta_1 - n_2^2}\cdot z\right),$$

где $z$ - расстояние от границы, $\lambda$ - длина волны в вакууме. Характерная глубина проникновения - порядка длины волны ($\sim 100{-}500$ нм для видимого диапазона). Эванесцентная волна не переносит энергию в нормальном направлении (усреднённый поток Пойнтинга вдоль $z$ равен нулю), однако играет ключевую роль в ряде эффектов.

Если к границе раздела приблизить вторую плотную среду на расстояние, сравнимое с длиной эванесцентной волны, часть энергии «просачивается» через зазор - это явление называется туннельным (расстроенным) ПВО (frustrated total internal reflection, FTIR). Оно используется в биосенсорах и оптических переключателях.

Применение в оптоволокне

Самое известное применение ПВО - оптическое волокно. Сердцевина волокна изготовлена из стекла с показателем преломления $n_\text{core} \approx 1{,}48{-}1{,}52$, оболочка - из стекла с чуть меньшим $n_\text{clad} \approx 1{,}46{-}1{,}49$. Разница показателей мала (доли процента), но достаточна, чтобы создать критический угол выше 80°. Луч, запущенный в волокно с апертурным углом меньше числовой апертуры $\text{NA} = \sqrt{n_\text{core}^2 - n_\text{clad}^2}$, будет отражаться на каждой границе и распространяться без потерь на километры.

Именно низкие потери (менее 0,2 дБ/км в окне 1550 нм) делают оптоволокно незаменимым для магистральной интернет-инфраструктуры. ПВО в волокне работает как идеальное зеркало: $R = 1$ при каждом отражении, а значит, мощность не убывает с числом отражений.

Призмы Дове, Порро и угловые рефлекторы

Стеклянные призмы - ещё один класс устройств, работающих на ПВО. Призма Порро (используется в биноклях) дважды отражает луч на грани с углом $45°$: поскольку $45° > \theta_c = 41{,}8°$ для стекла с $n = 1{,}5$, $R = 1$ без каких-либо зеркальных покрытий. Аналогично работает угловой рефлектор (ретрорефлектор): три взаимно перпендикулярные грани обеспечивают тройное ПВО и возврат луча строго в исходном направлении. Такие рефлекторы установлены на Луне участниками миссий «Аполлон» - лазерная локация Луны опирается именно на этот принцип.

Рассчитать для своей задачи

ПВО в биомедицинских технологиях

Эванесцентная волна при ПВО нашла неожиданное применение в биологии и медицине. Метод TIRF-микроскопии (Total Internal Reflection Fluorescence) использует то, что эванесцентное поле освещает только тонкий слой толщиной $\sim 100{-}200$ нм вблизи стеклянной подложки. Флуоресцентные молекулы в этом слое возбуждаются, а остальной объём образца остаётся в темноте. Это позволяет наблюдать единичные молекулы прямо на поверхности клеточной мембраны с соотношением сигнал/шум, недостижимым при обычной конфокальной микроскопии.

В биосенсорах на поверхностном плазмонном резонансе (SPR) эванесцентная волна при ПВО возбуждает плазмоны на тонкой металлической плёнке. Угол резонанса чувствителен к наномолярным концентрациям веществ, связывающихся с поверхностью, - это основа иммуноанализаторов для клинической диагностики.

Частые ошибки

• Путать направление перехода. ПВО возникает только при переходе из плотной среды ($n_1$ больше) в редкую ($n_2$ меньше). Луч из воздуха в стекло ПВО не даёт ни при каком угле.
• Забывать ограничение по углу. Условие ПВО - $\theta_1 \ge \theta_c$, а не просто $n_1 > n_2$. При меньшем угле отражение частичное.
• Считать, что эванесцентная волна переносит энергию. Средний поток Пойнтинга в направлении нормали к границе при ПВО равен нулю.
• Игнорировать поляризацию в задачах Френеля. $R_s \ne R_p$ до критического угла; при $\theta = \theta_B$ $R_p = 0$, что используют для получения линейно поляризованного света.
• Подставлять угол в градусах в тригонометрические функции без перевода в радианы при программном вычислении.

FAQ

Почему критический угол алмаза меньше, чем у стекла? Алмаз имеет $n = 2{,}42$, поэтому $\theta_c = \arcsin(1/2{,}42) \approx 24{,}4°$. Маленький критический угол означает, что ПВО наступает уже при малых углах падения, и большинство лучей внутри камня не могут выйти из любой грани без многократных отражений - это и создаёт блеск бриллианта.

Что такое угол Брюстера и как он связан с ПВО? Угол Брюстера $\theta_B = \arctan(n_2/n_1)$ - угол, при котором $R_p = 0$ для p-поляризации. Он всегда меньше критического угла ($\theta_B < \theta_c$) при $n_1 > n_2$. Это независимые явления: Брюстер даёт полное прохождение p-поляризации, ПВО - полное отражение обеих поляризаций.

Можно ли наблюдать ПВО для звуковых волн? Да. Законы Снелла и формулы Френеля универсальны для любых волн. В акустике ПВО возникает на границе вода-воздух при углах больше критического ($\approx 13°$ для ультразвука на частоте 1 МГц). Этим пользуются при ультразвуковом контроле качества материалов.

Коротко

Полное внутреннее отражение - эффект, при котором электромагнитная волна, переходящая из плотной среды в редкую, полностью отражается при угле падения выше критического $\theta_c = \arcsin(n_2/n_1)$. Коэффициент отражения $R = 1$ для обеих поляризаций, в то время как до $\theta_c$ он описывается формулами Френеля и зависит от поляризации. За границей раздела при ПВО существует экспоненциально затухающая эванесцентная волна, не переносящая энергию. Практические приложения охватывают оптоволоконную связь, биосенсоры на основе FTIR, бинокли с призмами Порро и ретрорефлекторы.