Период физического маятника: формула и расчёт

Физический маятник - это любое твёрдое тело, способное качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс. В отличие от математического маятника, где вся масса считается сосредоточенной в точке, у физического маятника масса распределена по телу, и поэтому период зависит не от длины нити, а от момента инерции и положения центра масс. Ниже разберём, откуда берётся формула периода физического маятника, что такое приведённая длина, как считать период для стержня и диска и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть, как период меняется при сдвиге оси подвеса, покрути калькулятор ниже: он пересчитывает период, момент инерции и приведённую длину мгновенно и показывает, при каком положении оси период минимален.

Формула периода физического маятника

Период малых колебаний физического маятника задаётся формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{m g d}},$

где $I$ - момент инерции тела относительно оси подвеса, $m$ - масса тела, $g$ - ускорение свободного падения, $d$ - расстояние от оси подвеса до центра масс. Формула справедлива только для малых колебаний, когда угол отклонения не превышает примерно $5$–$10$ градусов и синус угла можно заменить самим углом.

Рассчитать для своей задачи

Обратите внимание: в знаменателе под корнем стоит произведение $m g d$, а в числителе - момент инерции $I$. Чем больше момент инерции при том же плече $d$, тем медленнее тело возвращается в положение равновесия и тем больше период. Наоборот, чем дальше центр масс от оси (больше $d$), тем сильнее возвращающий момент, но и момент инерции растёт - поэтому зависимость периода от $d$ оказывается немонотонной.

Откуда берётся формула: вывод через момент силы

При отклонении тела на угол $\theta$ сила тяжести создаёт возвращающий момент относительно оси подвеса:

$M = -m g d \sin\theta.$

Знак минус означает, что момент стремится вернуть тело в положение равновесия. По основному уравнению динамики вращательного движения момент равен произведению момента инерции на угловое ускорение:

$I \ddot{\theta} = -m g d \sin\theta.$

Для малых углов $\sin\theta \approx \theta$, и уравнение превращается в уравнение гармонических колебаний:

$\ddot{\theta} + \frac{m g d}{I}\,\theta = 0.$

Отсюда циклическая частота $\omega = \sqrt{m g d / I}$, а период $T = 2\pi/\omega$ даёт ту самую формулу. Видно, что без приближения малых углов колебания перестают быть гармоническими, и период начинает зависеть от амплитуды - это главная причина, почему формула работает только для малых отклонений.

Приведённая длина физического маятника

Сравним формулу периода физического маятника с формулой математического маятника $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. Они совпадут, если ввести величину

$L = \frac{I}{m d},$

которую называют приведённой длиной физического маятника. Это длина такого математического маятника, который качается с тем же периодом, что и данное тело. Приведённая длина - удобный мост между двумя моделями: она позволяет переносить интуицию от простого маятника на нити к телу произвольной формы.

Рассчитать для своей задачи

Точка на прямой, проходящей через ось подвеса и центр масс, удалённая от оси на расстояние $L$, называется центром качания. Если перевесить маятник за центр качания, период не изменится - ось подвеса и центр качания взаимно обратимы. Это свойство лежит в основе оборотного маятника, которым точно измеряют ускорение свободного падения.

Готовые случаи: стержень и диск

Чтобы применить формулу, нужно знать момент инерции относительно оси подвеса. Его удобно находить через теорему Гюйгенса-Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси через центр масс плюс $m d^2$:

$I = I_{цм} + m d^2.$

Для однородного стержня длины $\ell$, подвешенного за конец, центр масс находится посередине ($d = \ell/2$), а $I_{цм} = m\ell^2/12$. Тогда момент инерции относительно конца $I = m\ell^2/12 + m\ell^2/4 = m\ell^2/3$, и период:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m\ell^2/3}{m g (\ell/2)}} = 2\pi\sqrt{\frac{2\ell}{3 g}}.$

Для сплошного диска радиуса $R$, подвешенного за точку на ободе, $d = R$, а $I_{цм} = mR^2/2$, откуда $I = mR^2/2 + mR^2 = 3mR^2/2$, и приведённая длина $L = 3R/2$. В калькуляторе выше можно выбрать форму тела и проверить эти выражения, наблюдая, как меняется график периода.

Минимум периода и оптимальная ось подвеса

Если сдвигать ось подвеса вдоль тела, период ведёт себя необычно: при очень малом $d$ плечо силы тяжести почти нулевое, возвращающий момент слабый, и период растёт. При большом $d$ растёт момент инерции, и период тоже увеличивается. Между этими крайностями есть положение, где период минимален.

Рассчитать для своей задачи

Для однородного стержня минимум периода достигается, когда ось проходит на расстоянии $d = \ell/(2\sqrt{3})$ от центра. Это объясняет, почему у напольных часов и метрономов положение оси подвеса выбрано не случайно, а так, чтобы колебания были устойчивыми и слабо чувствительными к мелким смещениям. Калькулятор подсвечивает точку минимума оранжевым маркером - двигая ползунок расстояния, видно, как период проходит через неё.

Частые ошибки

• Подстановка момента инерции относительно центра масс вместо оси подвеса. В формулу периода идёт $I$ относительно оси качания. Если у вас известен $I_{цм}$, обязательно добавьте $m d^2$ по теореме Штейнера.
• Путаница плеча $d$ и характерного размера тела. Расстояние $d$ - это от оси подвеса до центра масс, а не длина стержня или радиус диска. Для стержня за конец $d = \ell/2$, а не $d = \ell$.
• Использование формулы при больших амплитудах. При углах больше $10$ градусов период растёт с амплитудой, и формула $T = 2\pi\sqrt{I/(m g d)}$ даёт заниженное значение.
• Забытое ускорение свободного падения. В знаменателе под корнем стоит $g$. Его пропуск меняет размерность и делает ответ бессмысленным.
• Смешение периода и частоты. Период $T$ измеряется в секундах, циклическая частота $\omega = 2\pi/T$ - в радианах в секунду. Их легко перепутать в финальной подстановке.

FAQ

Чем физический маятник отличается от математического? У математического маятника вся масса сосредоточена в точке на невесомой нити, и период зависит только от длины нити: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. У физического маятника масса распределена по телу, поэтому период определяется моментом инерции и расстоянием до центра масс. Любой физический маятник можно заменить математическим с приведённой длиной $L = I/(m d)$.

Как найти период физического маятника, если известен момент инерции? Подставьте момент инерции относительно оси подвеса, массу, $g = 9{,}81$ м/с² и расстояние до центра масс в формулу $T = 2\pi\sqrt{I/(m g d)}$. Если момент инерции дан относительно центра масс, сначала перенесите его на ось подвеса: $I = I_{цм} + m d^2$.

Зависит ли период физического маятника от амплитуды? При малых колебаниях - практически нет, период постоянен. Но с ростом амплитуды появляется зависимость: при угле $30$ градусов период уже примерно на $1{,}7$ процента больше, чем при бесконечно малых колебаниях. Поэтому формула справедлива именно для малых углов.

Коротко

Период физического маятника задаётся формулой $T = 2\pi\sqrt{I/(m g d)}$, где $I$ - момент инерции относительно оси подвеса, $d$ - расстояние от оси до центра масс. Момент инерции переносится на ось качания теоремой Штейнера $I = I_{цм} + m d^2$, а приведённая длина $L = I/(m d)$ сводит задачу к математическому маятнику. Зависимость периода от положения оси немонотонна и имеет минимум, что важно учитывать при проектировании часовых механизмов.